2.3离散型随机变量的均值、方差习题课

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高二数学 选修2-3

2.3离散型随机变量的

均值、方差OK选尚

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五、方差的应用例1:甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 X1, X2分布列如下： X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解：EX 1 9 , EX

2

9

; DX 1 0 . 4 , DX 2 0 . 8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在 尚 8~10环。

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X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 PDX1

8 0.4

9 0.22

10 0.4 0 .8

E X 1 9, E X 2 9;

0 . 4 , DX

问题1:如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？ 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？ 答：一、一、二。

书P66思考？

练 ： 书 P6 6 例 4 .

尚

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例2:甲乙两人每天产量相同，它们的 次品个数分别为 ,其分布列为：

0

1

2

3

0

1

2

P

0.3 0.3 0.2 0.2

P

0.1 0.5 0.4

判断甲乙两人生产水平的高低？尚

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期望值高，平均值大，水平高；E =0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 方差值小，稳定性高，水平高。 E =0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3

D =(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2 -1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21

D =(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+ (2-1.3)2×0.4=0.4结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但 甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高。尚

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例3:有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？尚

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EX 解： 1 1400 , EX

2

1400

D X 1 40000, D X 2 160000

在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果 认为自己能力很强，应选择工资方差大(不稳定) 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就 应选择工资方差小的单位，即甲单位。

尚

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书p66、几个常用公式：D ( aX b ) a DX2

若 X 服从两点分布，则

DX p ( 1 p )

若 X ~ B ( n , p ),则 DX np ( 1 p )

尚

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巩固练习：1、已知 3 1 8 ,且 D 13 , 则 D 117

2、已知 X ~ B ( n , p ), EX 8, DX 1.6, 则 n 10, p 0.8

3、有一批数量很大的商品，其中次品占1%, 现从中任意地连续取出200件商品，设其次品 数为X,求EX和DX。 答：2;1.98。尚

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六、课堂小结：1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义. 2、记住几个常

见公式D ( aX b ) a DX2

若 X 服从两点分布，则

DX p ( 1 p )

若 X ~ B ( n , p ),则 DX np ( 1 p )

*3、1)若X~H(n,M,N)则D(X)=

nM ( N M )( N n) N ( N 1)2

2)服从几何分布的随机变量的方差 D 尚

q p2

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两个特殊分布的方差：(1)若 X 服从两点分布，则 D X p (1 p )

(2)若

X ~ B (n, p )

,则 D X np (1 p )

两种特殊分布的均值：(1)若X服从两点分布，则 E X p (2)若 X ~ B ( n , p ) ,则

EX np2

方差的性质：

D ( aX b ) a D X尚

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尚

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思考1. 被保对象缴纳保险费1000元时，保险公司的赔偿金为a(a>1000)元，若被保对象出 险的概率为0.03,为使保险公司收益的期望值 不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿 金定为多少元？

1000 0.97

1000-a 0.03

E = 1000-0.03a≥0.07a

P

得a≤10000,故最大定为10000元。

尚

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练习1:根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗

的概率为0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财 产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万 元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a>100),问a 如何确定，可使保险公司期望获利？ 解析：设保险公司的获利为ξ,ξ所有可能的取值为100、100-a, 则ξ的分布列为： 100

100-a

ξ 得：Eξ=100·0.99+(100-a)· 0.01=100-0.01a. 要使保险公司的获利，须有Eξ=100-0.01a >0; P 则100-0.01a>0,即a<10 000. 又因为a>100, ∴当100<a<10 000时保险公司可期望获利.尚

0.99 0.01

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思考2.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2 万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇 下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概 率为40%,商场应选择哪种促销方式？

解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益 万元,则 的分布列

10 -4P 0.6 0.4 所以E =10×0.6+(-4) ×0.4=4.4因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销. 尚

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练习2、袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,每取到 1个红球得2分,取到一个黑球得1分. (1) 今从袋中随机取4个球,求得分ξ的概率分布与期望. (2)今从袋中每次摸1个球,看清颜色后放回再摸1个球,求 连续4次的得分η的期望.

思考2:(08湖北17题) 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的 有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现 从袋中任取一球.X表示所取球的标号. (Ⅰ)求x的分布列，期望; (Ⅱ)若 Y aX 4 , EY 1, 求 a 的值尚