机械工程控制基础 第二章 20130227

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材料学院

机械工程控制基础主讲教师：叶春生

华中科技大学材料学院 csye@http://www.77cn.com.cn Tel:027-87558370

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机械工程控制基础 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 自动控制的一般概念 控制系统的数学模型 控制系统的时域分析法 频域分析法 控制系统的稳定性 控制系统的校正

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第二章系统的数学模型 2.1系统的微分方程 2.2相似原理 2.3传递函数 2.4系统的传递函数方框图及其简化 2.5反馈控制系统的传递函数

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一阶线性微分方程回顾dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得故通解为

ln y P( x)d x ln C

y C e P ( x )d x

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解非齐次方程 P( x) d x

dy P( x) y Q( x) dx

P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,

u e即

P( x) u e

P( x) d x

P(x) u e

P( x) d x

Q(x)

对应齐次方程通解( x ) d C e P y x dx C 两端积分得 u Q( x) e P( x) d x

P ( x )d x

P( x) d x dx C 故原方程的通解 y e Q( x) e P( x) d x P( x) d x dx P( x) d x e y Ce Q( x) e 即齐次方程通解 非齐次方程特解

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例. 有一电路如图所示,感 L 都是常量, 求电流

其中电源电阻 R 和电

R LK

E～

解: 列方程 . 由回路电压定律:

在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 已知经过电阻 R 的电压降为R i di 经过 L的电压降为 L dt di 因此有 E L R i 0 , 即 d i R i Em sin t dt dt L L 初始条件: i t 0 0

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Em sin t di R i dt L L i t 0 0解方程:利用一阶线性方程解的公式可得

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R LK

E～

C

由初始条件: P (ix )td x Q( x) e P ( x ) d x d x C y e 0 0 得

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因此所求电流函数为

RR t e L

LEm L i (t ) 2 2 2 R L Em 2 ( R sin t L cos t ) 2 2 R L L ,则 解的意义: 令 arctan R LEm i (t ) 2 R 2 L2暂态电流

E～

K

R t e L

sin( t ) R 2 2 L2稳态电流

Em

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拉普拉斯变换 拉普拉斯变换法是一种解线性微分方程的简便运算 方法.由于拉普拉斯变换的运用，我们能使许多普 通函数，如正弦函数、阻尼正弦函数和指数函数转 换成复变数的代数函数.微积分的运算能内在复平 面内的代数

运算来代替. 于是，线性微分方程能转 换成复变数的代数方程.微分方程的解可用拉普拉 斯变换表，或部分分式展开式求出. 拉普拉斯变换法的一个优点是可以用显示系统特性 的图解方法来计算，而无需实际去解系统的微分力 程.它的另一个优点是当我们解微分方程时，可同 时获得解的瞬态分量和稳态分量.

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拉普拉斯变换的定义 本节介绍拉普拉斯变换的定义，对拉普拉斯变换存 在的条件作简略的讨论，并举例说明几种常用函数 的拉普拉斯变换的推导.拉普拉斯变换的定义如下:

L( f (t )) F (s) e dt[ f (t )] f (t )e st dt st 0 0

f(t)=时间t的函数，而且当t<0时，f(t)=0; s= 复变数； L= 运算符号，放在某量之前，表示该量用拉普拉 st 斯积分 0 e dt 进行变换 ; s= 复变数

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两个基本函数单位脉冲函数

(t t 0 ) 0

t t0t t0

(t t 0 )

L( (t t 0 )) 1单位阶跃函数

u(t a) {

0,t 0 1,t 0

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拉普拉斯变换的特性(1) 线性性

L( Af (t )) AF (s)L( f1 (t ) f 2 (t )) F1 (s) F2 (s)

衰减定理

L(e

at

f (t )) f (t )e ( s a )t dt F (s a)0

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拉普拉斯变换的特性(2) 延时定理

L( f (t a)u(t a)) e F (s)

as

u(t a) {

0,t 0 1,t 0

时间尺度定理

t t L( f ( )) af ( )e 0 a a

as

t a

t d ( ) aF(as) a

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拉普拉斯变换的特性(3) 延时定理

L( f (t a)u(t a)) e F (s)

as

u(t a) {

0,t 0 1,t 0

时间尺度定理

t t L( f ( )) af ( )e 0 a a

as

t a

t d ( ) aF(as) a

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拉氏变换的基本性质(1)线性微分 积分

k f (t)i 1 i i

n

k .LT [ f (t )]i 1 i

n

df (t ) dt

sF (s) f (0 )F ( s ) f ' (0 ) s s

t

f ( ) d

时移

f (t t0 )u(t t0 )

e

st 0

F ( s)

频移

f (t )e at

F ( s a)15

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拉氏变换的基本性质(2) 1 s 尺度变换 F f (at) a a 初值定理t 0

lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s) s

终值定理

lim f (t ) f ( ) lim sF ( s )t s 0

f1 (t ) * f 2 (t )卷积定理

F1 ( s) F2 ( s)1 F1 ( s) * F2 ( s) 2 j16

f1 (t ) f 2 (t )