2016届高考数学复习 第六章 第一节 数列的概念及简单表示法课件

第一节

数列的概念及简单表示法

考点梳理

考纲速览 1. 了解数列的 概念和几种

命题解密 考查通项公式的

热点预测 预测高考对本节

1. 数 列 的 简 单 的 表 示概念. 方法(列表、

题目，常用递推关系 内容主要考查已知数 或实际背景提供条件 列的递推关系式求数 求通项公式，或考查 列的通项公式，已知 通项所应满足的性质； Sn 与 an 的关系求 an 等 . 考查前 n 项和则重在 有时也结合函数的性 考查 an 与 Sn 之间的关 质考查数列的单调性、

2. 数 列 的 图 象 、 通 项

表示.

公式).

3. 递 推 关 2. 了解数列是 系. 自变量为正 整数的一类 函数.

系，由 Sn 的关系转化 数列的最大值或前 n成an的关系. 项和的最大值等问题.

知识点 数列的概念

1.数列的定义 一定顺序 排列着的一列数称为数列 . 数列中的每一个数叫 按照 _________做这个数列的项.

2.数列的分类分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 满足条件

有限 项数_____ 无限 项数_____an+1__ > an an+1__ < an an+1=an 其中 n∈N*

3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an= f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

5.递推公式第一项 (或前几项 如果已知数列{an}的_______ ______),且任何一项an与它的前 一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.

6.数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系 (1)Sn=a1+a2+ +an; S1(n=1), (2)an= Sn-Sn-1(n≥2).

【名师助学】1.本部分知识可归纳为： 两类特殊问题：(1)解决与数列周期性有关的题目，关键是找出数 列的周期.(2)求数列最大项的方法：①判断{an}的单调性；②解不 ak≥ak-1, 等式组 求数列最小项依此类推. ak≥ak+1,

三种方法：由递推式求通项 an 的方法： (1)an+1-an=f(n)型，采用累加法； an + 1 (2) a =f(n)型，采用累乘法； n (3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型，采用待定系数法转化为等比 数列解决.

2.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(- 1)n 或(-1)n+1 来区分奇偶项的符号);已知数列中的递推关系， 一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转 化的方法. 3.强调 an 与 S1(n=1), Sn 的关系：an= Sn-Sn-1(n≥2).

方法1 由递推关系式求通项公式 由递推公式求数列通项的常用方法(1)形如 an+1=an+f(n),常

用累加法.即利用恒等式 an=a1+(a2 -a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1)求通项公式. (2)形如 an+ 1 = anf(n),常可采用累乘法，即利用恒等式 an= a2 a3 an a1· · · · 求通项公式. a1 a2 an-1 (3)形如 an+1=ban+d(其中 b,d 为常数，b≠0,1)的数列，常 用构造法 . 其基本思路是：构造 an + 1 + x = b(an + x)( 其中 x = d ),则{an+x}是公比为 b 的等比数列，利用它即可求出 an. b-1

pan 1 (4)形如 an+1= (p,q,r 是常数)的数列，将其变形为 = qan+r an+1 r 1 q p·an+p. 1 q 若 p=r,则 a 是等差数列，且公差为p,可用公式求通项； n 若 p≠r,则采用(3)的办法来求. (5)形如 an+2=pan+1+qan(p,q 是常数，且 p+q=1)的数列，构 造等比数列.将其变形为 an+2-an+1=(-q)· (an+1-an),则{an-an-1

}(n≥2,n∈N*)是等比数列，且公比为-q,可以求得 an-an-

1=f(n),然后用累加法求得通项.

【例 1】 (1)(2014· 山东菏泽高三期末检测 )已知数列 {an}中， a1 =1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的通项公式an=________. (2)(2014· 安徽合肥一模 ) 已知数列 {an} 满足 a1 = 1 , a2 = 4 , an + 2 +2an=3an+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=________.

解析

an+1 n+1 (1)由(n+1)an=nan+1,可得 = . an n

an-1 n-1 an n a3 3 a2 ∴当 n≥2 时， = , = , , = , =2. a2 2 a1 an-1 n-1 an-2 n-2 an 将以上各式累乘求得 =n,∴an=n,而 n=1 也适合. a1 ∴数列的通项公式为 an=n.

(2)由an+2+2an-3an+1=0,得an+2-an+1=2(an+1-an), ∴ 数列 {an + 1 - an} 是以 a2 - a1 = 3 为首项， 2 为公比的等比数列， ∴an+1-an=3· 2n-1, ∴n≥2时，an-an-1=3· 2n-2, ,a3-a2=3· 2,a2-a1=3, 将以上各式累加得an-a1=3· 2n-2+ +3· 2+3=3(2n-1-1), ∴an=3· 2n-1-2(当n=1时，也满足). 答案 (1)n (2)3· 2n-1-2

[点评]

an+1 解答本题(1)的关键是将(n+1)an=nan+1 变形为 a = n

n+1 n ,再用累乘法求解；解答本题(2)的关键是将 an+2+2an= 3an+1 变形后得出{an+1-an}是等比数列，再利用累加法求解.

方法2 利用数列通项公式求数列最大(小)项的，常用方法 (1)函数法：利用数列的增减法或图象求最值. an≥an-1, (2)拆项法：利用不等式组 (n≥2,n∈N*),求最大 an≥an+1

项 an.

【例 2】 (2014· 山西太原一模)已知数列{an}的通项公式 an=(n 10 n +1)( ) ,试问数列{an}中有没有最大项？若有，求出最大项和 11 最大项的序号；若没有，请说明理由.

解

法一

10 n+1 ∵an+1-an=(n+2) 11 -

10 n 10 n 9-n n+1 = × , 11 11 11

当 n<9 时，an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时，an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时，an+1-an<0,即 an+1<an. ∴该数列中有最大项，为第 9、10 项，且 10 9 a9=a10=10× 11

法二

an≥an-1, 根据题意，令 (n≥2,n∈N*), an≥an+1

10 n 10 n-1 ≥n× , (n+1) 11 11 即 解得 9≤n≤10. 10 n 10 n+1 (n+1) ≥(n+2) , 11 11

又 n∈N*,∴n=9 或 n=10, ∴该数列中有最大项，为第 9、10 项，且 10 9 a9=a10=10× 11 .