高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题五的答案

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5.1 设随机变量X的数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,使用切 比雪夫不等式估计概率P(|X-μ|≥3σ)的上界

2 1 解 P( X 3 ) 2 3 9

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5.2 已知正常成年男性每毫升的血液中,含白细胞平均数 是7.3×106,标准差是0.7×106.使用切比雪夫不等式,估计每 毫升血液中含白细胞数在5.2×106到9.4×106之间的概率.

解 设正常成年男性每毫升的血液中,含白细胞数量为随 机变量X P(5.2 106 X 9.4 106 )

P( 2.1 106 X 7.3 106 2.1 106 ) P ( X 7.3 106 2.1 106 )

0.7 10 1 2.1 10

6 2

6 2

8 9

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5.5 设随机变量X~P(λ),使用切比雪夫不等式证明 1 P(0 X 2 )

解

P(0 X 2 )

P( X )

P( X )

1 1 2 1

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5.6 设相互独立的r.v.序列 X n , n 1 满足 试证明对于任意给定的ε >0,总有

P X k 1 pk , P X k 0 1 pk , k 1,2, 1 n 1 n lim P X k pk 0 n n k 1 n k 1

解 Xk

B(1, pk ) , k 1, 2,

,

E( X k ) pk , D( X k ) pk (1 pk ) 1 X n之间相互独立 1 n 1 n 由切比雪夫大数定律得 lim P X k pk 0 n n k 1 n k 1 且X1 , X 2 ,

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5.9 设相互独立的r.v.序列 X n , n 1 且每个Xn都服从参数为2的泊松分布, 问当n→∞时,

1 n 2 Yn X i 依概率收敛于哪个常数值随机变量? n i 1 2 2 解 E( X i ) D( X i ) [ E( X i )] 2 6由辛钦大数定律得

1 n 2 P Yn X i 6 n i 1

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5.10 计算机在进行加法时,遵循四舍五入原则,为简单计, 假设每个加数按四舍五入取为整数.试求(1)随机取1000 个数相加,问误差总和的绝对值超过10的概率是多少? (2)要想使误差总和的绝对值小于10的概率超过90%,最 多随机取几个数相加? 解 (1)设第i个加数的误差为Xi , 则Xi~U[-0.5,0.5] 1 E ( X i ) 0, D( X i ) , i 1, 2, ,1000 12则误差总和X X ii 1 1000

1000 250 E ( X ) 0, D( X ) 12 3

P( X 10) 1 P( X 10) 1 P( 10 X 10)

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10 1 P( 250 3

X 10 ) 250 250 3 3

1 P( 1.2

X 1.2) 250 3

1 [2 ( 1.2) 1] 2[1 (1.1)] 2 [1 0.8643] 0.2714

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解 (2)设最多随机取n个数相加,n

n 则误差总和X X i E ( X ) 0, D ( X ) 12 i 1

10 X 10 ) P( X 10) P( 10 X 10) P( n n n 12 12 12 10 12 2 ( ) 1 0.9 n

10 12 10 12 ( ) 0.95 查表得 1.65 n n

10 12 n n 440.8 故最多随机取440个数相加 1.65

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5.13 某复杂系统由100个相互独立起作用的部件组成.在

整个运行期间,每个部件损坏的概率为0.1,为了使整个系统 起作用,至少需有85个部件工作.求整个系统工作的概率. 解 设X为100个部件损坏的个数, 则X~B(100,0.1) 且E( X ) 10, D( X ) 9要使整个系统工作, 至少需要85个部件工作, 即部件损坏的个数不能超过15个. ∴系统工作的概率为 X 10 15 10 ) (1.67) 0.9525 P( X 15) P( 3 3

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5.14 假设某生产线的产品其次品率为10%.求在新生产的 600件产品中,次品的数量介于50和60之间的概率. 解 设X为600件产品中次品的个数, 则X~B(600,0.1) 且E ( X ) 60, D( X ) 54 50 60 X 60 60 60 ) P(50 X 60) P( 54 54 54

10 X 60 50 60 X 60 60 60 0) P( ) P( 3 6 54 54 54 54 (0) ( 1.36) 0.5 (1 0.9131) 0.4131

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5.15 某专卖店销售三种品牌的台灯,由于售出哪一种台灯 完全是随机的,因而售出一盏台灯的价格是一个随机变量 , 它取100元,200元,300元的概率分别为0.6,0.2和0.2.若一段 时间内售出了100盏台灯,求(1)收入至少14800元的概率. 解 (1)设收入为Y,售出(i×100)元的台灯个数Xi ,(i=1,2,3) X 1 X 2 X 3 100 Y 100 X 1 200 X 2 300 X 3 14800 X 1 X 2 X 3 100 X 1 2 X 2 3 X 3 148

令X 2 0, 此时X1有最大值， X1 3(100 X1 ) 148 X1 76

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解对每次售出的台灯价格进行考查, 要么售出价格为100元的台灯,要么不是售出价格为 100元的台灯.

则X1

B(100,0.6), E( X1 ) 60, D( X1 ) 24 X 1 60 76 60 ) P(Y 14800) P( X1 76) P( 24 24 (3.27) 0.9995166

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5.15 某专卖店销售三种品牌的台灯,由于售出哪一种台 灯完全是随机的,因而售出一盏台灯的价格是一个随机变 量,它取100元,200元,300元的概率分别为0.6,0.2和0.2.若 一段时间内售出了100盏台灯,求(2)出售价格为200元的 台灯多于10盏的概率. 解 (2)对每次售出的台灯价格进行考查, 要么售出价格为200元的台灯,要么不是售出价格为 200元的台灯.

则X 2

B(100,0.2), E( X 2 ) 20, D( X 2 ) 16

10 20 X 2 20 100 20 ) P(10 X 2 100) P( 16 16 16 (20) ( 2.5) (2.5) 0.9938

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5.16 某会议共有300名代表,若每名代表贡献正确意见的 概率都是0.7,现要对某事可行与否进行表决,并按2/3以上代 表的意见作出决策.假设代表们各自独立地作出意见,求作 出正确决策的概率. 解 设X为300名代表中作出正确意见的人数, 则X~B(300,0.7) 且E( X ) 210, D( X ) 63

要使得最终能作出正确决策, 2 则300名代表中至少有 人要贡献正确意见,即X 200 3 X 210 200 210 P( X 200) P( ) 63 63 10 1 ( ) (1.26) 0.8962 63