高一数学(人教A版)必修2课件：直线与圆的方程的应用

数学人教A版 ·必修2

第四章4.2.3 直线与圆的方程的应用

温故知新 1.解决实际问题的基本步骤如下： (1)阅读理解，认真审题. 做题时，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际 背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述 中的新名词、新概念，进而把握新信息.在此基础上，分析 出已知什么，求什么，都涉及哪些知识，确定变量之间的关 系.审题时要抓住题目中关键的量，实现应用问题向数学问 题的转化.

(2)引进数学符号，建立数学模型. 根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及相 关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题， 实现问题的数学化，即建立数学模型.如果题目已经告知曲 线是圆，则需要建立适当的直角坐标系，设出圆的方程，为 求解方程或计算作准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予 以解答，求得结果. (4)翻译成具体问题.

2.圆(x-1)2+(y-2)2=1与圆(x-3)2+(y-1)2=4的公切 线共有( A.1条 ) B.2条 C.3条 D.4条

[答案] B

[解析]

两圆的圆心分别为(1,2),(3,1),连心线的长为 5 <3,所以两圆相交.故公切线有两

3-1 2+ 1-2 2 = 条.

新课引入

设有半径为3

km的圆形村落，两人同时从村落中心C出

发，A向东，而B向北直进，A出村后不久，改变前进方向，沿 着斜切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A,B两 人的速度都一定，其比为3:1,问A,B两人在何处相遇？带上 这个问题进入本节的学习.

自主预习 阅读教材P130~132,回答下列问题. 直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤：坐标和方程 第一步：建立适当的_______________ 平面直角坐标系 ，用___________ 代数 问题； 表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为_____

第二步：通过代数运算，解决代数问题；翻译 ”成几何结论. 第三步：把代数运算结果“______

这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简 称为“一建二算三译”.

用坐标法证明正方形的对角线互相垂直.

[证明]

如图所示，以边长为a的正方形ABCD的边AB为x

轴，A为原点，建立平面直角坐标系， 则A(0,0),B(a,0),C(a,a),D(0,a), a-0 a-0 则kAC= =1,kBD= =-1, a-0 0-a ∴kACkBD=-1.∴AC⊥BD. 即正方形的对角线互相垂直.

圆的方程的实际应用学法指导 步骤： 解直线与圆的实际应用问题时，一般按如下

[例1]

有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相

同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B地的两倍，若A、B两地相距10 km,顾客选择A地或B

地

购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点 的居民应如何选择购买此商品的地点？

[解析]

以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，

建立直角坐标系，如上图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在坐 标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元 /km,则从B地运货到P地的运费为a元/km. 若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a x+5 2+y2<a x-5 2+y2, 25 2 2 20 2 整理得(x+ 3 ) +y <( 3 ) .

25 2 2 20 2 即点P在圆C:(x+ ) +y =( ) 的内部. 3 3 也就是说，圆C内的居民应在A地购物. 同理可推得圆C外的居民应在B地购物. 圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物.

一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报，台风中心位于轮船正西70 km处，受到影响的范围是半径 为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如 果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？