2017年数学花园探秘高年级复赛(解析)

2017年“数学花园探秘”科普活动

小高年级组决赛试卷A

一、填空题Ⅰ（每小题8分，共40分）

1. 算式116316363????-÷- ? ??

???的计算结果是________． 【答案】64

【解析】原式2(631)(631)=-÷-

(631)(631)(631)=-?+÷-

64=

2. 一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形的周长是________厘米（π取3．14）

【答案】2384

【解析】图形周长等于5段弧长加1个半径分别计算再求和： 周长111112100220023002400250050055555

πππππ=??+??+??+??+??+ 215005005π=

?+ 2384=

3. 在2016年里约奥运会女排决赛中，中国队战胜了塞尔维亚队获得冠军．统计4局比赛中中国队的得分，发现前2局的得分之和比后2局的得分之和少12%，前3局的得分之和比后3局的得分之和少8%．已知中国队在第2局和第3局中各得了25分，那么中国队在这4局中的得分总和为________分．

【答案】94

【解析】设第一局中国队得a 分，第四局中国队得b 分，根据题意有： 12%(25)8%(50)b a b b -=?+=?+，解得25b =，19a =．

所以，四局得分总和1925252594+++=分． 学而思培

优

4. 右面三个算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字；

那么四位数“李白杜甫”=________．

【答案】9285

【解析】因为=-李白杜甫诗，所以有101

ìï+=+ïíï=+ïïî白甫诗李杜，有因为=+李白杜甫背诗诗，所以有+=白甫诗或10+=+白甫诗（舍）．由10ìï+=+ïíï+=ïïî白甫诗白甫诗可以解得：5=甫．经尝试可知：当2=白，9=李，8=杜时，两个竖式成立．所以四位数=9285李白杜甫．

5. n 个数排成一列，其中任意连续三个数之和都小于30，任意连续四个数之和都大于40，

则n 的最大值为________．

【答案】5

【解析】分析任意连续4个数a ，b ，c ，d ，前三个数的和要小于等于29，即29a b c ++≤，这四个数的和要大于等于41，即41a b c d +++≥；所以第四个数要大于等12，即12d ≥．同理，29b c d ++≥，41a b c d +++≤；所以12a ≥．综上所述，如果有连续的四个数，这四个数两边都要大于12．

如果这一列有6个数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ：观察前4个，那么112a ≥，412a ≥；观察中间4个，那么212a ≥，512a ≥；观察后4个，那么312a ≥，612a ≥．所以12336a a a ++≥，与三个数之和小于30矛盾．所以这列数的个数不可能大于5．下面构造5个数组成的数列：12，12，5，12，12．所以，n 的最大值是5．

二、填空题Ⅱ（每小题10分，共50分）

6. 2222220172017201720172017214161201412016120162016201620162016201620161248163264

+++++------------ 的计算结果是________． 【答案】32 【解析】原式1111120171335572013201520152017111111120161248163264???+++++ ????????=???------ ???

学而思培优

11120172120171201664

????- ???=? 20172016220171201664

?=? 2016

2201664

32

==

7. 有一个四位数，它和6的积是一个完全立方数，它和6的商是一个完全平方数；那么这

个四位数是________．

【答案】7776 【解析】把这个四位数N 分解质因数，设1123a b n N p =???

这个数乘以6的积是个完全立方数，所以1111623a b n N p ++=??? ，所以3|1a +且3|1b +；

这个数除以6的商是个完全平方数，所以

1111236

a b n N p --=??? ，所以3|1a -且3|1b -． 那么，a ，b 最小值为5，N 最小为55237776?=，N 第二小为552357776538880??=?=不是四位数．所以，7776N =．

8. 在空格里填入数字1~6，使得每行、每列和每个23?的宫（粗线框）内数字不重复．若虚线框A ，B ，C ，D ，E ，F 中各自数字和依次分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a b =，c d =，e f >．那么第四行的前五个数字从左到右依次组成的五位数是________． 【答案】31462

【解析】第一步：由c d =易知C 里面的数是6，D 里面的数是1，2，3．

学而思培优

由e f >易知，E 里面的数是5，6，F 里面的数是1，2，3，4．第二步：宫内排除．第三步：观察A 最小是123410+++=，而B 中剩下两个数只能填1，4，5，要凑出大于等于10的数只能是345++，所以B 中剩下两个数是4，5．然后简单的宫内排除和区域和就可以．具体过程如下：

9. 抢红包是微信群里一种有趣的活动，发红包的人可以发总计一定金额的几个红包，群里相应数量的成员可以抢到这些红包，并且金额是随机分配的．

一天陈老师发了总计50 元的5 个红包，被孙、成、饶、赵、乔五个老师抢到． 陈老师发现抢到红包的5 个人抢到的金额都不一样，都是整数元的，而且还恰好都是偶数．

孙老师说：“我抢到的金额是10 的倍数．”

成老师说：“我和赵老师抢到的加起来等于孙老师的一半．”

饶老师说：“乔老师抢到的比除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和还多．”

赵老师说：“其他所有老师抢到的金额都是我的倍数．”

乔老师说：“饶老师抢到的是我抢到的3 倍．”

已知这些老师里只有一个老师没说实话，那么这个没说实话的老师抢到了________元的红包． 【答案】16

【解析】如破口：分析饶老师和乔老师两人说的话，两人的话不可能同时成立，所以两人中

必有一人没说真话，所以其余三人说的话都是真话；观察孙老师说的话：他只能是10，20，30，40之一；根据成老师说的话，孙老师钱的一半也得是偶数，所以孙老师只能学而思培

优

是20，40；如果孙老师的钱是40，根据成老师说的话，成老师和赵老师加起来应该为20，这样总数已经超过50，不可能．所以孙老师抢到了20，成老师和赵老师加起来为10；赵老师说其他人抢到的都是他的倍数，所以成老师也是赵的倍数：将10拆成两个偶数，一个是另一个的倍数，只能是2+8．所以成老师抢到了8元，赵老师抢到了2元．下面只剩饶老师和乔老师，他们的和应该是50201020--=；再分析他们说的话：如果乔老师说的是真话，那么饶老师应该抢到15元，乔老师抢到5元，与每人都是偶数矛盾，所以乔老师没说真话，饶老师说的是真话；如果饶老师抢到的大于等于6元，那么乔老师抢到的为14元，小于除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和，所以饶老师抢到的只能是4元（注意每人抢到的金额都不一样，所以不能是2元），这样说谎话的乔老师抢到的是16元．

10. 如图，P 为四边形ABCD 内部的点，AB :BC :DA =3:1:2，60DAB CBA ∠=∠=?．图中所有

三角形的面积都是整数．如果三角形P AD 和三角形PBC 的面积分别为20和17，那么四边形ABCD 的面积最大是________．

【答案】147

【解析】如图所示延长ABBC 交于M ，连结MP ．易知三角形ABM 为正三角形，

:1:2DM DA =，:2:1CM CB =，所以三角形DMP 和三角形CMP 的面积分别为10，34，即四边形DPCM 的面积为44．再观察三角形MDC ，由于DPB 的面积为整数，所以它的面积也是整数，并且三角形MDC 是三角形MAB 的29；所以ABCD 面积为三角形MAB 的79

，为使ABCD 面积尽量大，三角形MAB 的面积要尽量大，那么三角形MDC 的面积应尽量大；MDC 面 …… 此处隐藏：4179字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……