2012中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)

2012中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)

例 5

如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．

（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）； （2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；

（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09福州21”，拖动点E在BC上运动，观察面积随x变化的图象，可以体验到，当E是BC的中点时，平行四边形EFPQ的面积最大，此时四边形EFPQ是菱形．

拖动点M在BC的垂直平分线上运动可以改变⊙E的大小，可以体验到，⊙E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数可能为2，4，6，3，0．

思路点拨

1．如何用含有x的式子表示平行四边形的边PQ，第（1）题作了暗示．

2．通过计算，求出平行四边形面积最大时的x值，准确、规范地画出此时的图形是解第（3）题的关键，此时点E是BC的中点，图形充满了特殊性．

3．画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点H的圆，过点C的圆．

满分解答

（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条．

32

2

（2）如图2，在Rt△CEH中，∠C＝60°，EC＝x，所以EH x．因为PQ＝

FE＝BE＝4－x，所以S平行四边形

EFPQ

PQ EH

32

x(4 x)

32

x 23x．

（3）因为S平行四边形

EFPQ

32

x 23x

2

32

x 2） 23，所以当x＝2时，2

平行四边形EFPQ的面积最大．

此时E、F、P分别为△ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2的菱形（如图3）．

图2 图3

过点E点作ED⊥FP于D，则ED＝EH＝3．

如图4，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时，0＜r＜3；

如图5，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时，r＝3；

如图6，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时，3＜r＜2； 如图7，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时，r＝2时； 如图8，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时，r＞2时．

图4 图5 图6

图7 图8

考点伸展

本题中E是边BC上的动点，设EC＝x，如果没有限定0＜x≤2，那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的？

事实上，当x＞2时，点P就不存在了，平行四边形EFPQ也就不存在了． 因此平行四边形EFPQ的面积随x的增大而增大．

例6

如图1，抛物线y x2 2x 3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值．

思路点拨

1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程． 3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．

满分解答

（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1． （2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．

把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）． 把x＝1代入y x2 2x 3，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）． 因此DE=2．

因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为(m, m 3)，点F的坐标为

(0, m 2m 3)，因此FP ( m 2m 3) ( m 3) m 3m．

2

2

2

当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到 m2 3m 2．解得m1 2，

m2 1（与点E重合，舍去）．

因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时． ②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此

S S BCF S BPF S CPF

12

FP OM

12

FP BM

12

( m

2

3m) 3

32

m

2

92

m．

m的变化范围是0≤m≤3．

图2 图3

考点伸展

在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．

如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此yD yF yP yE． 于是4 ( m2 2m 3) ( m 3) 2．解得m1 0（与点CE重合，舍去），m2 1（与点E重合，舍去）．

因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．

图4

例 7

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x 1与y 轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．

（1）求点A、B、C的坐标．

（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．

（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出

BECD

34

x 3交于点A，分别交x

的值；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08太原29”，拖动点D可以在直线AC上运动． 分别双击按钮“BC＝BD”，“CB＝CD”和“DB＝DC”，可以准确显示△CBD为等腰三角形．

双击按钮“平行四边形”，可以体验到，以点E、D、O、A为顶点的平行四边形有三个．

思路点拨

1．数形结合，由两条直线的解析式组成的方程组的解，就是点A的坐标． 2．分类讨论等腰三角形CBD，按照顶角的顶点分三种情况讨论．

3．在计算点D的坐标时，构造以C为顶点的直角三角形，灵活运用三边比3∶4∶5．

4．画平行四边形时，是点E决定点D的位置：过点O作AC的平行线交AB于E，由OE与AD平行且相等得到点D的两个位置，这样就容易得到三个平行四边形．

满分解答

（1）在y x 1中，当y 0时，x 1，所以点B的坐标为( 1,0)．在y

34

x 3

y x 1,

8

中，当y 0时，x 4，所以点C的坐标为（4，0）．解方程组 得x ，3

7 y x 3,

4

y

157

．所以点A的坐标为

815

,77

34

．

34

（2）因为点D在直线y x 3上，设点D的坐标为(x,x 3)．当△CBD为

等腰三角形时，有以下三种情况：

CM ①如图2，当DB＝DC时，设底边BC上的高为DM．在Rt△CDM中，

34

158

12BC

52