西南交通大学理论力学课件4

第4章

平衡方程的应用

※ 静定与静不定问题的概念※ 物体系的平衡 ※ 桁架

※ 考虑摩擦时的平衡问题※ 结论与讨论

§4.1&4.2 物体系的平衡 · 静定和静不定问题●静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目 ●超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目A B

FD

FA P

FB

C1m

A2m

E

B1m

BA C

FC FB P

B

P Q D E

FA

A

C

例题1

已知：P=0.4kN,Q=1.5kN, sin =4/5 ;D,E为中点，PB

AB=l ,杆重不计， 求：支座A、C的反力。 解：(1)取整体为研究对象

Q

M A (F ) 0, l l FCy 2l cos P cos Q sin 0 (1) 2 2 Y 0, FAy FCy P 0 (2) X 0, FAx FCx Q 0 (3)

FAyA

D

E C

FCy

FAx

FCx FBy

PB FBx

解上述方程，得

FAy 0.2kN, FCy 0.6kN(2)取AB为研究对象 解得: FAx 0.3kN 代入(3)式得

FAyA

M

B

(F ) 0,

FAx

l FAx l sin P cos FAy l cos 0 2

FCx 1.2kN

例题2

D A

图示构架，各杆及圆盘 的重量均不计，试求：A、C的约 束反力和DC杆内力。

B

45°

C

a L r H

解: (1)取BC和圆盘为研究对象

a

a

M B F 0' FBy

D FDC P B H' FBx

aFDC sin 45o Pr

F1 a r 0F1

FDC 2 PP

(2)取整体为研究对象

FAx F1 0 FAx P X 0 M A F 02aFC P r a r F1 a r 0D

FC P

A

B

45°

C

Y 0FAY FC P 0

FAx

FAy

F1 H

FC

FAy 0

P

例题3

6m

6m

三铰拱桥如图所示，已 知每段重G = 40 kN,重心分别在 D,E处，且桥面受一集中荷载F =10 kN。试求各铰链中的力。

FD G

3m 1m

C

E G6m

解： 1.取AC段为研究对象。

A

B

X 0,

FAx FCx 0FCy

Y 0,C

FAy FCy G 0FAx

D

M F 0,FAx 6 m FAy 6 m G 5 m 0A

C F Cx

G

FAy

2.再取BC段为研究对象，受力 分析如图。

F’Cy F’Cx C

F E G FBx B FBy

X 0, Y 0, M F 0,C

FCx FBx 0 FCy FBy F G 0

F 3 m G 5 m FBy 6 m FBx 6 m 0联立求解，得 FAx= -FBx = FCx = 9.2 kN FAy= 42.5 kN, FBy= 47.5 kN , FCy= 2.5 kN

例题4

已知:a=2m,q=3kN/mA B a q A FAx FAy q A B FAx B

q

求：支座A、D的反力。 解：取AB部分为研究对象 1 M B F 0 qa a aFAy 0 2

Ca

aD FBx FBy

FAy 3kN

取ABCD部分为研究对象 M D F 0

2aqa aFAx 2aFAy 0

C

FAx 6kN

FAy

X 0 FAx FDx 0 FDx 6kNFDx FDy

D

Y 0

FAY FDx 2aq 0

FDx 9kN

练习：图示构架杆重不计求：A、C处的反力。A 4m 4m M=600N.m C

P=500Nq=25N/m

D

B

45o

分 析P=500N

3m

MA Aq=25N/mD B45o

FB

FAxFAy

B M=600N.m C

FB

FC

例 题 5 已知如图，构架杆重不计，试求：A、E的约束反 力和BC杆内力。 解：(1) 取整体为研究对象

q

a a C a

X 0, Y 0,

FAx 0 FAy FE qa 0

FAyB A

M B (F ) 0, FAy a qa 1.5a 0

D a

E a

FAx q

解得： FAx 0 FAy 1.5qa FE 2.5qa (2) 取曲杆CD为研究对象 M D ( F ) 0, qa 0.5a FC a sin 45 0

FE

C

解得：

FC

2 qa 2

FDx

FCD FDy

例 题 6 图示构架自重不计，已知：q=1.5kN/m,P1=10 kN,P2=20 kN 求： 支座A、B处的约束反力。3m 2m P2 E FAx A

q

BFBx 4m

2 P P2 1 FD 15kN 4(2) 取整体为研究对象

M F 0E

, 4 FD 2 P 2 P2 0 1

D FD

2m 2m FAy 4m

FBy

P2 P1 D FD

FExE FEy

M A F 0 , 8FBy 8q.4 2 P2 3P 4 FD 0 1

Y 0 , F Ay FBy FD P2 8q 0

6m

解: (1) 取DE部分为研究对象

P1

2m

C

X 0

, F Ax FBx P 0 1P2 3m 2m P1 D E FAx A

q

FAy 4.75kN FBy 12.25kN

BFBx 4m

(2) 取BC部分为研究对象

FD

2m 2m FAy 4m

FBy

M F 0C

, 4FBy 8FBx 4q.2 0 4.63kN

q FCx C FCy B FBx FBy

FBx

8q 4 FBy

8 FAx 5.37kN

6m

2m

C

图示连续梁，自 重不计，已知：M = 10k N· q=2kN/m,试求：支 m, 座A、C的反力。FAy

例题7

解：(1) 取BC为研究对象 X 0, FCx 0 M C ( F ) 0, FB 2 q 1 0.5 0 Y 0, FCy FB q 1 0FBB

q

MC 1m 1m 1m

解得:

MAA FAx1m

FB 0.5kN, FCx 0, FCy 1.5kN(2) 取AC为研究对象

FCyC

q

FBB

FCx

X 0, FAx FCx 0 Y 0, FAy FCy q 1 0 M A ( F ) 0, M A M q 1 1.5 FCy 2 0

FAyA

MFAx

q

MA

FCx

C

FCy

解得: FAx 0, FAy 3.5kN, M A 4kN m

图示结构，各杆的自重不 计，试求：D、E的约束反力。 解：(1)取CDE为研究对象A C D 2m

例题8

FAy FAxE 2m G 2m H B

M E (F ) 0, FDy 2 500 4 0 (1) Y 0, FDy FEy 500 0 X 0, FDx FEx 0解上述方程，得

FB2m 2m

(2) (3)500N

500N

FDy 1000 N, FEy 500 N(2)取整体为研究对象FDyC D

FEyE

M A (F ) 0, FB 4 500 2 500 6 0500N

FDx

解得:

FB 1000N

2m

FEx

FDy 1000 N, FEy 500 N, FB 1000NA

FAy FAxE 2m G 2m H B B

C

解得: FEx 1500 N代入(3)式得:

2m

2m

500N

500N

FDx 1500 NFDx 1500 N FDy 1000 N FEx 1500 N FEy 500 NG

FExFGy FGxE

FB

FDyD

FEyE

FEy

C

FDx

500N

如果取整体为研究对象时，A支座的反力都要求出来么

?

2m

M G (F ) 0, FB 4 FEx 2 FEy 2 0

D

FB

2m

(3) 取BEG为研究对象

FEx

例题9

图示构架，各杆自 重不

计，已知：q=50kN/m, M=80kN· m;试求： A、B的 约束反力。FNBB

解：(1) 取DE杆为研究对象 M H (F ) 0, M FDx 2 q 2 3 0FDX 110kN

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