齐次坐标变换与四元数

齐次坐标变换与四元数

1齐次坐标

1.1位置和姿态的表示 1.2坐标变换 1.3齐次坐标变换

1.1.1位置描述

对于直角坐标系 A ,空间任一点p的位置可用的列矢 量 A p 表示。

px A p py pz

1.1.2方位描述

用与此刚体固接的坐标系 B 的三个单位主矢 量相对于参考坐标系 A 的方向余弦组成的矩 A 阵 B R 来表示刚体B相对于坐标系的方位。A B

R

A

xB

A

yB

r11 r A z B 21 r31

r12 r22 r32

r13 r23 r33

A B

R 的性质A B

A xB , y B 和A z B 都是单位矢量， 由于 R 的三个列矢量

A

且双双相互垂直，因而它的9个元素满足6个约束条 件(正交条件)A

xB A xB A y B A y B A z B A z B 1A A A A A

A

xB y B y B z B z B x B 0A B A R 1 B RTA B

可见，旋转矩阵是正交的，并且满足条件R 1

1.2坐标变换

1.2.1平移坐标变换 1.2.2旋转坐标变换 1.2.3一般坐标变换

1.2.1平移坐标变换A

pB o称 B 为相对于 A 的平移矢量A

p p pB oB A

1.2.2旋转坐标变换 A 用旋转矩阵B R 描述 B 相对于 A 的方位。

A

A p B R B p

1.2.3一般坐标变换

可看成是坐标旋转和坐标平移的复合变换。A

p R p pB oA B B A

1.3齐次坐标变换

1.3.1齐次变换 1.3.2平移齐次坐标变换 1.3.3旋转齐次坐标变换

1.3.1齐次变换

式

A

p R p pB o 用齐次坐标表示为A B B A

p R 1 0A A B

A

pB o p 1 1 B

A

p T pA B B

A B

R T 0A B

A

pB o 1

1.3.2平移齐次坐标变换 1 0 Trans(a, b, c) 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

a b c 1

对已知矢量u=[x,y,z,w]T进行平移变换所得的 矢量v为 1 0 v 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a x x aw x w a b y y bw y w b c z z cw z / w c 1 w w 1

1.3.3旋转齐次坐标变换

对应于轴x,y或z作转角 为的旋转变换0 s c 0 0 c 0 0 Rot( y, ) s 0 1 00 s 1 0 0 c 0 0 0 0 0 1

1 0 0 c Rot( x, ) 0 s 0 0

c s Rot( z , ) 0 0

s c 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

2四元数

2.1四元数的定义及其运用

2.1四元数的定义及其运用

四元数是由一个实数单位l和三个虚数单位i、j、 k组成的包含四个实数的超复数。

q w xi yj zk

也可将i、j、k视为单位矢量 q s v 这里s=w且v=[x y z]

四元数的乘法运算

(1)若 、 为两实数，则

(2)若 为一实数， 为一矢量 ，则