八年级15.3.2 完全平方公式(公开课)课件

15.2.2 完全平方公式

回顾 & 思考

回顾与思考 公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.应用平方差公式的注意事项:

(a+b)(a b)= a2 b2;

弄清在什么情况下才能使用平方差公式:

对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符 号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后， 才能使用平方差公式。

在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做 到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时 要注意添括 号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。

做一做其边长增加 b 米。 形成四块 完全平方公 实验田，以种植不同的新品种 式 b (如图1—6). 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较. 因需要将 一块边长为a米的正方形实验田，

探索: 你发现了什么?

a a图1—6

直 总面积= (a+b) 2; 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求

b

公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.

动脑筋想一想

的证明

(a+b)2=a2+2ab+b2 ; 完全平方公式 2= a2 2ab+b2. (a b)

(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?

(2) 小颖写出了如下的算式: (a b)2= [a+( b)]2 她是怎么想的? 你能继续做下去吗?推证

(a+b)2 =(a+b) (a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;(a b)2= [a+( b)]2 = a 2 + 2 a ( b) + ( b) 2 = a2 2ab + b2.

利用两数和的 完全平方公式 推证公式

议一议

几何解释:b

aa b b

= a2a b

+ ab

+ ab

+ b2

a b (a b)2 b(a b)

a

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2 = a2 2ab+b2(a b)2 = a2 ab b(a b) = a2 2ab+b2 .

b

aba

初 识 完全平方公式2 + 2ab+b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 . a+b 2 (a b 2 = a2 2ab+b2 . 2ab+b 2 a b)

结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.

2-(a2+b2)= a2+2ab+b2-a2-b2 (a+b)

=2ab

比一比 赛一赛回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x 5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2 (2x 5y)2可以看成哪两个数的和的平方? (2x 5y)2可以看成2x与 5y的和的平方.

学一学

例1 利用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ; (2) (y-0.5x)2 ; (3) (-a b)2 ;

(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (a b)2 = a2 2ab+b2 .(4) (b-a)2

2 解:(1) (4m+n)22= a2+2ab+b2×4m×n + n2 =16m2+8mn+n2 4m n 这与(a+b) = (4m) + 2

(a b)2 = a2 2ab+b2 有何 关系 (2) (y-0.5x)2= y2-2×y×0.5x+(0.5x)2 =y2-xy+0.25x2

(3) (-a b)2= (-a)2-2(-a)b+b2 =a2+2ab+b2

(4) (b-a)2= b2-2 b a+a2 =b2-2ab+a2

(-a b)2=(a+b)2 (b a)2=(a-b)2

随堂练习 随堂练习

1、计算：(1) (x +6)2 ; (3) (-2x+5)2 ; (2) (y -5)2;3 2 2 (4) ( x - y) 4 3

学一学(1) 1022;

例题解析 例2

运用完全平方公式计算：(2) 992变形

解: (1)

1022

(100+2)2 =1002+2×100×2+22 = =10000+400+4 =10404

(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801 利用完全平方公式计算: 1、先选择公式; 2、准确代入公式; 3、化简.

纠

错 练 习

指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a 1)2=2a2 2a+1; (2) (2a+1)2=4a2 +1; (3) ( a 1)2= a2 2a 1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a 1)2= (2a)2 2 2a 1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2= (2a)2+2 2a 1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: ( a 1)2=( a)2 2 ( a ) 1+12;

圣诞老人的礼物在下列四个金蛋中,你只 要正确回答他的问题,你就能得到他的礼物.

一 号 题

二 号 题

三 号 题

四 号 题

1号题：下列等式是否成立? 说明理由. (1)( 4a+1)2=(1 4a)2;成立

(2) ( 4a 1)2=(4a+1)2;成立

(3) (4a 1)(1 4a)=(4a 1)(4a 1)=(4a 1)2;不成立.

(4) (4a 1)( 1 4a)=(4a 1)(4a+1).不成立.

2号题：填空题：2 2 2=_____________. (1)(-3x+4y)

9x -24xy+16y

2 2 2=____________. (2)(-2a-b)

4a +4ab+b

2 2-4xy+________=(x-2y)2. ( 3) x

4y

(-2ab) (4)a2+b2=(a+b)2+_________.1 1 2 3ab 2=( (5) a +______+9b a+3b)2 2 4

3号题：选择题 (1)如果x2+mx+4是一个完全平方公式， 那么m的值是( ) c

A.4

B.-4

C.±4

D.±8

(2)将正方形的边长由acm增加6cm,则 正方形的面积增加了( c ) A.36cm2 B.12acm2

C.(36+12a)cm2 D.以上都不对

4号题：思考题：

1 已知： x 3 x 1 2 1 2 求： x 和 (x ) 2 x x

的值