复变函数与积分变换生物医学工程专业2009级期末考试试卷(A卷)

山东中医药大学生物医学工程专业2009年级（本科） 《复变函数与积分变换》期末考试试卷（A卷）

姓 名： 学 号： 班 级: 考试时间： 补（重）考：（是、否） －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

说明：本试卷总计100分，全试卷共 3 页，完成答卷时间2小时。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 一、单项选择题（本大题共10 题，每题3 分，共 30 分）

1 i 6633

1、已知z ，则z 2z 2的值为（ ）

1 i

8

A、 i B、1 C、i D、 1

2、集合D z|0 |z| 1 ，则D是（ ）.

A、无界域 B、多连通域 C、单连通域 D、闭区域 3、已知方程(1 2i)z 4 3i，则z （ ）.

A、2 i B、 2 i C、2 i D、 2 i 4、设f(z) u iv在区域D内解析，下列等式中正确的是（ ）. A、f (z)

C、f (z)

u x

i v x

B、f (z) D、f (z)

u y u x

i i

v x v y

u y

i

v y

5、设f(z)在单连域D内解析，C为D内任一闭路，则必有（ ）

A、 lm[f(z)]dz 0 B、 Re[f(z)]dz 0

C

C

C、 |f(z)|dz 0 D、Re[ f(z)dz] 0

C

C

6、设C:|z 2| 1，则

C

e

z

z 2

dz （ ）.

A、 e2i B、2 ei C、2 e2 D、2 e2i

7、函数f(z)

1z i

1

ez 3

在z 0处Taylor展开式的收敛半径是（ ）.

A、1 B、2 C、3 D、 8、设F( ) 2 ( 0)，则F 1[F( )] （ ）.

A、1 B、 (t t0) C、ei t D、e i t 9、f(z) u iv在区域D内可导的充要条件是（ ）

A、在D内存在某点z0，f(z)在z0处解析 B、u,v在D内有偏导数 C、u,v在D内满足C R条件 D、f(z)在D内解析

10、函数f(t) tej t的傅里叶变换为（ ）。

A、2 ( 0) B、2 ( 0) C、2 j ( 0) D、2 j ( 0)

二、填空题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1、复数(

1 1

3i3i

)的三角形式为________ ____.

10

2、曲线z 2 i t在映射w z2下的象曲线为3、(1 i)1 i4、z 0为函数f z

sinzz

3

的级极点。

5、函数f z zImz Rez仅在z ____________处可导. 6、f(z) 7、

3

3

2

7 1

z

dz

d ，f (1 i) sinz

|z| 2

(z

2

。

)

2

8、f(t) eatsinkt的拉普拉斯变换为。

9、已知f1 t etu t ,f2 t tu t ,则它们的卷积f1 t f2 t 。 10、F

2、若函数f(z) 洛朗级数。

1z(1 z)

1

2

a

2

的傅里叶(Fourier)逆变换为 。 三、计算题（本大题共 5 题，每题 7 分，共 35 分）

1、设v epxsiny,求p的值使v为调和函数，并求出解析函数

f(z) u iv.

在下列圆环域1 z 2 2内是解析的，把f(z)在这个区域内展开成

3、计算积分I

4、计算积分

y 3y 3y y 1,

5、求解微分方程

y(0) y(0) 1,y(0) 2.

z 2

e

2z

2

(z 1)

。

x

2

2

x

2

4

dx

四、证明题（本大题共 1 题，每题 5 分，共 5 分） 求积分

e

z 1

z

z

dz，从而证明： ecos cos sin d

.

山东中医药大学生物医学工程专业2009年级（本科）

《复变函数与积分变换》期末考试试卷（A卷）标准答案与评分标准

一、 单项选择题（本大题共10 题，每题3 分，共 30 分）

1、B 2、B 3、A 4、A 5、D 6、D 7、A 8、C 9、D 10、C 二、 填空题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1、cos

10 3

2k

isin

10 3

； 2、w 3t2 4t2i；

2) isin(

3、2e4

[cos(

4

ln

4

ln2)],k 0, 1,

； 4、2； 5、（0，-1）；

6、2 ( 6 13i)； 7、2 i；

1 at

t 0 2ae

1k t

t 0； 8、； 9、； 10、t 1 e 22

2a(s a) k

1at

et 0 2a

三、 计算题（本大题共 5 题，每题 7 分，共 35 分） 1、解：因vx pe

px

siny,vxx pe

2px

siny,vy e

px

cosy,vyy e

px

siny

，要使v(x,y)为调和函

数，则有 v vxx vyy 0 即 p2epxsiny epxsiny 0

（3分）

所以 p 1时，v为调和函数，要使f(z)解析，则有 ux vy， uy vx u(x,y) uxdx epxcosydx

1pe

px

cosy (y)

uy

1p

e

px

siny (y) pe

px

siny

（2分）

p)e

px

所以 (y) (即 u(x,y) pe

1p

px

p)e

px

siny, (y) (

1p

cosy c

cosy c，故

xz e(cosy isiny) c e c,p 1

f(z)

x z

e(cosy isiny) c e c,p 1

（2分）

2、解：在1 z 2 2内,

1z

12 (z 2)

11 (z 2)

12 1

1

1z 2

1,

z 22

1,所以

z 221

121

[1

z 22

(

z 22

) ] 3

2

分

11 z

z 2

z 2111z 2z 221112

f(z) [1 () ] [1 () ]

z1 z222z 2z 2z 2

1

1

1z 2

[1

1z 2

(

1z 2

) ] 3

2

分

1(z 2)

3

1(z 2)

2

1(z 2)

12

z 24

(z 2)8

2

1分

3、解：被积函数f(z)在z 2的内部有二级极点z 1， 2分

Res[f(z),1] lim

z 1

ddz

[(z 1)

2

e

2

2z

(z 1)

] 2 e 3分 2

2

I 2 i{Res[f(z),0]} 4 ei

2分

（2分）

4、解：z 2i为 f(z)

x

2

2

2

(x 4)z

2

2

2

在上半平面的二级极点，

原式=2 iRes[

(z 4)

z

2

,2i]=（3分）

i8

2 ilim[

z 2i

(z 2i)

2

] …… 此处隐藏：1266字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……