南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题

考研的考研看看哈

南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题

考研的考研看看哈

二、填空题(每空 3 分，共 15 分)得分 评阅人

1、 lim

∫0

x2

ln (1 + t )dt 1+ x4 1d dx

x→ 0

=x 2 ∫ 0 tf (x

.

2、设 f ( x ) 连续，则 3、将 ∫ dx0 2

t

2

)dt

=

. .

∫x

3x

f

(

x 2 + y 2 dy 化成极坐标形式的二次积分为L

)

4、设 L 是圆周 x 2 + y 2 = 4 , L 的方向为逆时针方向，则 ∫ e x x 2 y dx + xy 2 dy =

(

2

)

xn 5、设 a > b > 0 ,则级数 ∑ n 的收敛半径为 n n =1 a + b

∞

.

得分

评阅人

三、 (本题满分 6 分)

求由方程 x 2 + y 3 xy = 0 所确定的函数 y = y ( x ) 在 (0,+∞ ) 内的极值， 并判断是极大值还是 极小值.

第 2 页 共 7页

考研的考研看看哈

得分

评阅人

四、 (本题满分 6 分)

设 u = arctan

x+ y u 2 u ,求 , . x x 2 1 xy

得分

评阅人

五、 (本题满分 8 分)

计算曲线积分 I =

∫L

xdy ydx ,其中 L 是以点(1,0)为中心、 R 为半径的圆周， 4x2 + y2

R > 0, R ≠ 1 ,取逆时针方向.

第 3 页 共 7页

考研的考研看看哈

得分

评阅人

六、 (本题满分 7 分)

设函数 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 内具有连续的导数，且满足

f (t ) = 2 ∫∫ x 2 + y 2 fD

(

)

(

x 2 + y 2 dxdy + t 4 ,

)

其中 D 是由 x 2 + y 2 = t 2 所围成的闭区域，求当 x ∈ (0,+∞ ) 时 f ( x ) 的表达式.

得分

评阅人

七、 (本题满分 6 分)

设 an =

∫0

nπ

∞ 1 1 x sin x dx ,求级数 ∑

a n+1 n =1 a n

的和.

第 4 页 共 7页

考研的考研看看哈

得分

评阅人

八、 (本题满分 7 分)

设 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上连续且单调增加，试证：对任意正数 a , b ,恒有

∫a xf (x )dx ≥b

b a 1 b ∫0 f ( x )dx a ∫0 f ( x )dx . 2

[

]

得分

评阅人

九、 (本题满分 7 分)设 (u, v ) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 由 方 程 ( x az, y bz ) =0 确 定 隐 函 数 z = z ( x, y ) , 求

a

z z +b . x y

第 5 页 共 7页

考研的考研看看哈

得分

评阅人

十、 (本题满分 7 分)

设 xn = 2 n

1 1

1 2

L

1 n

,判别数列 {xn }的敛散性.

得分

评阅人

十一、 (本题满分 8 分)

设半径为 r 的球面 Σ 的球心在球面 Σ 0 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( R > 0 ) 上，问当 r 为何值时， 球面 Σ 在球面 Σ 0 内部的那部分面积最大？

第 6 页 共 7页

考研的考研看看哈

得分

评阅人

十二、 (本题满分 8 分) 注：科技学院考生只作第 1 题, 其他考生只作第 2 题。1.计算 I =

∫L (x 1 )2

x2 + y2 + y3

2

ds ,其中曲线弧 L 为： x 2 + y 2 = 2 x , y ≥ 0 .3 2

2.计算曲面积分 I =

被平面 z = 0 所截出部分的上侧.

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ

1) dxdy ,其中 ∑ 是曲面 z = 1 x 2 y 2

第 7 页 共 7页