计算旋转体体积的一般积分公式

Ｖ０１．Ｓ，Ｎｏ．４Ｄｅｃ．．２００２

ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ

高等数学研究

１１

计算旋转体体积的一般积分公式＋

姬小龙（济源职业技术学院数学教研室

０引言

河南济源４５４６５０）

本文首先讨论了平面曲线在直线上的投影长函数，平面曲线（图形）绕一共面直线旋转所得旋

转体的体积函数，给出了它们的积分表示式，进而得出计算旋转体体积的一般积分公式。

关于旋转体体积的计算问题，一般标准分析教材“１“中只讨论了平面图形绕坐标轴旋转所得旋

转体的体积的积分公式，为了应用上的便利本文将其推广，给出平面图形绕任一共面直线旋转所得

旋转体体积计算的一般积分公式。

一般认为平面曲线是（开）直线段到平面内的一一的，双方连续的，在上映射的象［３］．在直线段ｎ≤，≤６上引入坐标ｔ，在平面上引入笛卡尔直角坐标（ｚ，ｙ），则平面曲线的参数表示（方程）是

ｆｆ＝ｒ“）

、

｛

ＩＹ—Ｙ“）

．．∞≤ｆ≤６）或ｒ—ｒ（ｆ）（ｄ≤ｔ≤６）

设曲线（ｃ）｛上一ｚ：‘？（口≤ｆ≤Ｊ）为平面简单光滑血线段，ｚ：Ａｚ＋Ｂ，＋ｃ一０为曲线（ｃ）所

【Ｙ—Ｙｔ￡Ｊ

在平面上的直线，且假定直线１的任意一条垂线与曲线（ｃ）至多有一个交点，下同，如图所示．

对直线段ｎ≤ｆ≤ｂ的任一点ｆ，都有曲线（ｃ）上的点尸与之对应，过Ｐ作直线ｆ的垂线，Ｐ『为垂足，这样Ｐ，又与，相对应，反之，对直线ｚ上的线段Ｍ’Ⅳ’上的任一点尸７，过Ｐ’作直线ｆ的垂线交曲线（Ｃ）于Ｐ，Ｐ与Ｐ『相对应．而曲线段（Ｃ）是直线段ｎ≤ｔ≤ｂ到平面的一一的双方连续的在上映射的

一

ｙＪ

ｔ／

６

Ｄ

口

象，故在直线段ｄ≤ｔ≤６上有唯一确定的ｆ与之对应，这样便在直线段４≤￡≤６、曲线（Ｃ）与直线

ｆ上的线段ＭＩＮ’三者之间建立了一一对应的关系，记为：ｆ～Ｐ—Ｐ『ｏ一肘一Ｍ７６÷＋Ⅳ一Ⅳ’）其中肘’、Ⅳ’、Ｐ７、Ｑ７分别是曲线（ｃ）上点Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ在直线上的垂足（投影）．

，～

对于直线段ｎ≤￡≤ｂ上的任意￡，存在唯一确定的实数（弧ＭＰ的弧长）与之对应，这样定义的

一

蕊

’

函数称之为曲线（ｃ）的弧长函数，记作：Ｓ＝Ｓ（Ｄ，口≤ｔ≤ｂ．

对于直线段ｎ≤ｔ≤ｂ上的任意￡，存在唯一确定的实数（线段Ｍ７Ｐ，的长）与之对应，这样定义的函数称之为曲线段（ｃ）在直线ｚ上的投影长函数，记作：＾＝Ａ（ｆ），ｎ≤ｆ≤６．

对于直线段ｎ≤￡≤ｂ上的任意ｔ，有唯一确定的实数（平面图形Ⅳ’Ｐ７ＰＭ绕直线ｆ旋转所成旋转体的体积）与之对应，这样定义的函数称之为益线绕直线旋转确定的旋转体的体积函数，记作：ｙ

＝Ｖ（ｆ）ｍ≤ｔ≤ｂ．

收稿日期：２００２

ｎ１２９．

１２

高等数学研究２００２年１２月

１主要结论

下面给出弧长函数、投影长函数和旋转体的体积函数在参数表示意义下的表达式，最后得出旋转体体积计算的一般积分公式．

定理设曲线（ｃ）：ｆ２—２：。：（。≤ｆ≤Ｙ）为平面光滑曲线，直线ｚ：Ａ。＋Ｂｙ＋Ｃ一０与曲线ｌＹ—ＹＬＩ

Ｊ

（ｃ）共面且它的任意垂线与曲线（ｃ）至多有一个交点．则

ｒ弧长函数Ｓ—Ｓ（ｆ）可表为

鼬）一ｆ扫葡下玎黜，ｆ一。３。≤ｆ≤ｙ）

。４

（１）

ＩＹ—Ｙ‘ｚ，

２。投影长函数Ａ一＾（ｆ）可表为

椭’一万寿面Ｊ。ｌＡｙⅦ’一删‘‘’ｌ出“≤‘≤ｙ

３。旋转体的体积函数可表成

‘２’

Ｖ（‘’石矿＿ｊ≥百百而Ｊ。［Ａ卫（ｆ）＋Ｂ３心）十ｃ］２Ｉ以ｙ７“）一Ｂｘ’（ｆ）ｌ出，ｎ≤ｒ≤ｙ

旋转体的体积的积分公式为

（３）

推论１平面光滑曲线（ｃ）：｛。２。ｙ？（。≤ｆ≤，）绕直线ｆ：ＡＴ＋Ｂｙ十ｃ一０旋转一周所成ｌＪ＝Ｙ～ｆ，

Ⅳ＝石Ｆ１｝百可两Ｊ。［Ａｚ（￡）＋Ｂｙ（ｔ）十Ｃ３。ｊ＾Ｊ’ｏ）一Ｂｘ’“）Ｊｄｔ

转体的体积的积分公式为

（４）

推论２平面光滑曲线弧（Ｃ）：Ｙ＝，扛），口≤ｔ≤ｙ绕直线ｆ：Ａｘ＋Ｂｙ十Ｃ一０旋转所成旋

佴７一石驴－二簖Ｊ。［＾ｚ（￡）＋Ｂｙ（ｔ）＋ｃ］２

１、Ａ２＋Ｂｚ

’

Ｉ＾，’ｏ）一Ｂｘ’ｏ）Ｉｄｔ

（５）

２主要结论的证明

定理的证明：结论１。在教材“’３］中都有．现证结论２。．Ｖ：ｆ∈［ｎ，６］，给血使ｔ＋Ａｔｆｉ－■，６］，曲

线（Ｃ）上相应于ｔ与ｆ＋出的点的坐标为Ｐｏ，ｙ），Ｑ（ｘ＋△ｒ，Ｙ＋ｎ。，），直接计算得Ｐ，Ｑ在直线ｚ

上的投影Ｐ『，Ｑ’的坐标：

Ｐ，ｆ二墨墅±墨！兰＝墨！．＝墨墨！±墨垒＝墨！、“

Ａｚ＋Ｂ２

叭型业型掣箍掣业，型丝型掣箍ｐ业）

丽一±ＩＰ＇引一士号番掣，

其中当，ｆｉｔ＞０时取正号；当出＜０时取负号

㈤

一。…——■Ｆ～必ｄｔ＝…ｌｉｒａ丝土号｝蔓塑－－…ｌｉｍ百ＶｔＱｔ＝她赤ｌ‘西ｂｙＡ志ｌａｙ＇∽～删㈤｜ｆ

—Ｂ等Ｉ一…１Ｆ２嬲了牙亍雨ｌ西一ｄ否Ｉ一

第５卷第４期姬小龙；计算旋转体体积的一般积分公式１３

而曲线（ｃ）：｛；三；：：为光滑曲线，故窑在豳，６］上连续，积分可得

地）５历南Ｊ。Ｉ＾ｙⅧ’一Ｂｘ％’ｌ出，８≤‘≤６

结论３。的简证：Ｖ：ｔ∈■，６］，ｚ给出使ｔ＋△∈■，６］，则有

忡忙丝絮舻 扣ⅡＩＩＰＰ个烈＝石Ｆ南［Ａｚ（ｆ）＋Ｂｙ（ｔ）＋ｃ］２ｌＡｙ’（｝）一Ｂｘ’ｏ）Ｉｄｔ

而曲线（ｃ）是光滑曲线，窑在ｋ，６］上连续，积分可得（３）式．在（３）式中令ｆ一６便得推论１．推论

２易见．

４应用举例

例１求函数Ｙ—ｚ２＋１（ｏ≤ｚ≤１）绕直线．２７—２ｙ一０旋转所成旋转体的体积．

解由公式（５）可得

Ⅳ＝击肛叫蚪１）］讹ｚ制ｄ－ｒ一訾”

例２求圆一＋＿），。一２ｙ一０绕直线ｘ—Ｙ一２—０旋转一周所成旋转体的体积（轮胎体）

解将圆表成参数方程：

｛。ｌ＝三。Ｏ＋ＳｔＹ

、

１牟

ｓｉｎｔ（三４≤ｆ＜警）

４

剪成两个半圆：

ｃｃ山髓髯咖。ｃ｛≤ｒ＜警，ｃｃ：ｋ

ｃｏｓｔ

ｘ一２

ｓｉｎｔ（警≤ｒ＜警，

分别计算这两个半圆绕直线所成旋转体体积：

缈，一卉霹。（ｃｏｓｔ－－ｓｉｎｔ－－３）：ＩＣＯＳｔ－－ＳｉＯｔ陋一警＋半矿耻赤詹（ｃｏｓｔ－－ｓｉｎｔ－－３）ｚｌｃｏｓｔ－－ｓｉｎｔ协一半一竽一

所求旋转体的体积

Ⅳ：Ⅳ，一Ｗ，；３／虿扩

参考文献

［１］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８，３４５～３５０．［２］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８０，３０３～３０７．［３］梅向明黄欹之．微分几何［Ｍ］．北京：高等教育出版社．１９８１，６０～７８．

计算旋转体体积的一般积分公式

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

姬小龙

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