同济高等数学第六版上册课件

第四节 隐函数的导数 由参数方程 所确定的函数的导数 相关变化率 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率(不讲)

一、隐函数的导数前面我们讨论的函数都表示为y = (x)的形式, 其特点是: 等号左端是因变量 y , 而右端是只含自变量x 的表达式. 这种 方式表达的函数称为显函数. 如果x与y之间的函数关系不是 直接表达出来, 而是用x, y的一个表达式, 如方程 F(x, y) = 0的 形式表达出来, 也就是说, 方程F(x, y) = 0也可以确定 y 是 x 的 函数, 即在方程F(x, y) = 0中当x 取某区间内的任一个值时, 相

应地总有唯一地满足这个方程的y 值存在, 这就是由方程 F(x,y) = 0确定的函数, 我们称为隐函数.

一般地, 方程 F(x, y) = 0 在一定条件下确定 的隐函数有两种情形: (1) 由方程F(x, y) = 0反解出y , 确定 y 是 x 的函数 y = (x) , 我 们称为将一个隐函数显化; (2) 由方程F(x, y) = 0确定 y 是 x 的函数不能或不易显化. 如y esin y

x y2

2

0

这时由方程 F(x, y) = 0确定了 y 是 x 的隐函数. 既然由方程 F(x, y) = 0确定了y 是 x 的(隐)函数, 因而有必要 讨论直接由方程 F(x, y) = 0如何求它所确定的隐函数的导数. 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接方程两边同时对 x 求导. 注 求导时要把方程中的 y 看作 x 的函数，按复合函数求导 法则见到 y 就要对 x 求导. 例1 求由方程 xy e ex y

0 所确定的隐函数的导数

dy

,

dyx 0

.

dx dx

解 方程两边同时对 x 求导.y x dy dx e ex y

dy dx

0

解得

dy dx

e yx

x e

y

, 由方程知 x=0, y=0,

dy dxx 0

e yx

x e

y

x 0 y 0

1.

例2 求曲线 y + x – exy = 0 在点(0 1)处的切线方程.

解

方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得y 1 ( y xy ) exy

0y x 0 y 1

解得

y

ye

xy

1xy

1 xe

将已知条件代入得

0

则 切 线 方 程 为 y 1 0 ( x 0 ) 即 y 1.

1. 设 方 程 sin xy ln ( y x ) x 确 定 y 是 x 的 函 数 ,求 y ' x 0 .

解 在 方 程 两 端 同 时 对 x求 导 , 得co s x y ( y x y ') 1 y x ( y ' 1) 1 (1)

将 x 0代 入 原 方 程 得lny 0

即 y 1

再 将 x 0, y 1 代 入 (1) 得1 y'x 0

1 1

即

y'

x 0

1.

2. 设方程 x2 + y2 = R2 确定函数 y = y(x), 求 解

dy dx

.

方程两端逐项对 x 求导( y 是 x 的函数) 得2 x 2 yy 0

解得

y

x y

(圆 周 上 点 ( x , y )的 切 线 斜 率 )

3. sin ( x y ) xy

1 2

, y [

, 2 2

], 求 y | x 0 .

解 两 边 对 x求 导 ( x y ) cos( x y ) x y y x y xy

解 得 y cos( x y ) y x cos( x y )

将 x 0 代 入 方 程 得 ,sin y

1 2

,即 y

6

y |x 0

cos 6 cos 6

6

3 33 3.

.

注 意 ： y |x 0

cos y y cos y

例3 求由方程 x3 + y3 – a = 0(a 是常数) 确定的隐函数 y(x) 的二阶导数. 解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)并解得dy dx x y2 2

上式两端再对 x 求导( y 是 x 的函数)得d2

y2

2 xy

2

x y4

2

2 yy

dx

2 x( y

3

x )3 5

y

2 xa y5

1. 设 x4 – xy +y4 = 1, 求隐函数 y(x) 在点(0,1)处的二阶导数值. 解 方程两端逐项对 x 求导得4x3

y xy 4 y

3

y 0

(1 )

代入x=0, y=1得

y

x 0 y 1

1 4

;

将方程(1)两端再对 x 求导得12 x2

2 y x y 1 2 y ( y )2

2

4y

3

y 0

代入x=0, y=1, y

x 0 y 1

1 4

得 y

x 0 y 1

1 16

.

4 4 2. 设 x xy y 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 .

解

方程两边对 x 求导得

4 x y xy 4 y y 03 3

(1 ) 1 4 ;

代入 x 0 , y 1得

y

x 0 y 1

将方程 ( 1 ) 两边再对 x 求导得 x y 12 y 2 ( y ) 2 4 y 3 y 0 12 x 2 y2

代入 x 0 , y 1 , y

x 0 y 1

1 4

得

y

x 0 y 1

1 16

.

3 . e e x y , 求 y .x y

解 两 边 对 x求 导 : e e y 1 y x y

y

ey 1, 解得 y e 1 x y x y e ( e 1) ( e 1) e y x

( e 1)y x y 2 y

2 x 2

e ( e 1) e ( e 1) ( e 1)y 3

.

对数求导数法对于幂指函数和连乘积函数, 直接利用基本初等函 数的求导公式和求导法则很难求出其导数, 这时可以采 用先取自然对数, 然后再使用则复合函数的可导法则求 其导数. 这种求导方法称为对数求导法. 对数求导法的步骤: 1. 两端取自然对数;

2. 两端利用求导法则对 x 求导;3. 解出 y .

1. 幂指函数y = (x) φ(x) ( (x)>0)的导数.

例4 求幂指函数

y (tan x ) 的导数.x

解1(对数求导法) 首先取对数，得ln y ln(tan x ) x ln(tan x )x

x (ln sin x ln cos x )两 端 对 x求 导 , 得y y ln sin x ln cos x x ( cos x sin x sin x cos x )

ln tan x x cot x x tan xy (tan x ) (ln tan x x cot x x tan x )x

解2

y (tan x ) ex

ln(tan x )

x

e

x ln tan x

e

x (ln sin x ln cos x )

利用复合函数求导法则, 得y (e ex (ln sin x ln cos x )

)

x (ln sin x ln cos x )

[ x (ln sin x ln cos x )]

(ta n x ) ( x co t x x ta n x ln ta n x )x

上面例子说明对数求导法是充分利用对数性质及复合函数 求导法则来简化求

导计算的方法.

例 (x

x

x

) = x

x

x

[( x ) ln x 1 x

x

x

]

x

2. 多个函数连乘或连除的导数 例5 设 y ( x 1) 3 ( 3 x 1) ( 2 x )2

x 52 3 1 2

, 求 y .

解 取已知函数的绝对值的对数, 得ln y ln2 3

x 1 3x 1 x 5

2 x

1 3

ln y ln x 1

ln 3 x 1

1 3

ln 2 x

1 2

ln x 5

利用复合函数求导法则 ,上式两端对 x 求导,得y yy [ 1 x 1

1 x 12 3x 1

2

3 3x 11 3( 2 x )

3

1

3 2 x1 ]

1

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