数值分析习题(含答案)

第一章 绪论

姓名 学号 班级

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5 10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）

* 2

解：x 0.3400 10，x x

*

5

11

10 5 10 2 3 22

故具有3位有效数字。

2 3.14159 具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

*

解： 0.314159 10，欲使其近似值 具有4位有效数字，必需

*

111

101 4， 10 3 * 10 3，即3.14109 * 3.14209 222

即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3 已知a 1.2031，b 0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a b，a b有几位有效数字？（有效数字的计算）

11

10 3，b b* 10 2，而a b 2.1811，a b 1.1766 22

111

(a b) (a* b*) a a* b b* 10 3 10 2 101 2

222

故a b至少具有2位有效数字。

0.9781.20311

(ab) (a*b*) ba a* a*b b* 10 3 10 2 0.0065 101 2

222

故a b至少具有2位有效数字。

解：a a

*

4 设x 0，x的相对误差为 ，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知

x x*x

*

，则误差为 lnx lnx*

1lnx

*

x x*x

*

则相对误差为

lnx lnx*

lnx

*

x x*x

*

lnx

*

**

5测得某圆柱体高度h的值为h 20cm，底面半径r的值为r 5cm，已知

|h h*| 0.2cm，|r r*| 0.1cm，求圆柱体体积v rh的绝对误差限与相对误差

限。（误差限的计算） 解：

2

v(h,r) v(h*,r*) 2 r*h*r r* r*2h h*

绝对误差限为

v(h,r) v(20,5) 2 5 20 0.1 52 0.2 25

v(h,r) v(20,5)

相对误差限为

v(20,5)

25 1

4% 2

5 2020

6 设x的相对误差为a%,求y xn的相对误差。（函数误差的计算） 解：

x x*x*

a%，

y y*y

*

xn x*n

x

*n

n

x x*x

*

(na)%

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为 v(r)

344

r3，v(r*) r* 33

欲使

v(r) v(r*)v(r*)

1

4 r*2r r*

4

r*33

3

r r*r*

1%，必须

r r*r*

1

%。 3

8 设In e

1

nxx edx，求证： 0

（1）In 1 nIn 1(n 0,1,2 )

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计

算方法的比较选择）

1

解：In e

1

1

xde e[xe

1

nx 1n

x10

11

n 1x

1

n 1xx edx 1 nIn 1 0

n xedx] 1 ne

I0 e

1

edx e

x

(e 1) 1 e 1

*

如果初始误差为 0 I0 I0，若是向前递推，有

** n In In (1 nIn 1) (1 nIn)2n(n 1) n 2 ( 1)nn! 0 1) n n 1 ( 1

可见，初始误差 0的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推In 1

11

In，其误差为 nn

1111*1( 1)n21 0 ( I1) ( I1) 1 ( 1) 2 n 111111 2n!

可见，初始误差 n的绝对值被逐步减少了。

第二章 插值法

姓名 学号 班级

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知f( 1) 2,f(1) 1,f(2) 1，求f(x)的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 解法一（待定系数法）：设L(x) ax2 bx c，由插值条件，有

a b c 2

a b c 1 4a 2b c 1

解得：a 1/6,b 1/2,c 4/3。 故 L(x)

1214x x 。 623

解法二（基函数法）：由插值条件，有

L(x)

(x 1)(x 2)(x 1)(x 2)(x 1)(x 1)

2 1 1

( 1 1)( 1 2)(1 1)((1 2)(2 1)(2 1)

111

(x 1)(x 2) (x 1)(x 2) (x 1)(x 1) 323114 x2 x 623

2 已知y

x,x0 4,x1 9，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

4 2，y1 3，其线性插值函数为

解：由插值节点与被插函数，可知，y0

x 9x 416

2 3 x 4 99 455

7613

2.6。 的近似值为L(7)

555L(x)

3 若xj(j 0,1,...n)为互异节点，且有

lj(x)

试证明

(x x0)(x x1) (x xj 1)(x xj 1) (x xn)(xj x0)(xj x1) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn)

xl

j 0

n

kjj

（拉格朗日插值基函数的性质） (x) xk(k 0,1,...n)。

n

解：考虑辅助函数F(x)

xl

j 0

k

jj

(x) xk，其中，0 k n，x ( , )。

F(x)是次数不超过n的多项式，在节点x xi（0 i n）处，有

kkkkk

F(xi) xkjlj(xi) xi xili(xi) xi xi xi 0

j 0n

这表明，F(x)有n+1个互异实根。 故F(x) 0，从而

xl

j 0

n

k

jj

(x) xk对于任意的0 k n均成立。

,sin0.34 0.333487,sin0.36 0.3522744 已知sin0.32 0.314567，用抛物线插值计

算sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，其抛物线插值函数为

L(x)

(x 0.34)(x 0.36)

0.314567

(0.32 0.34)(0.32 0.36)

(x 0.32)(x 0.36)

0.333487

(0.34 0.32)(0.34 0.36)

(x 0.32)(x 0.34)

0.352274

(0.36 0.32)(0.36 0.34)

) 0.3304。 将x 0.3367代入，计算可得：L(0.3367

其余项为：r(x)

sin

(x 0.32)(x 0.34)(x 0.36) 其中，0.32 0.36 3!

r(x)

1

(x 0.32)(x 0.34)(x 0.36) 6

1

(0.3367 0.32)(0.3367 0.34)(0.3367 0.36) 2.14 10 7。 6

故误差的上界为：

r(0.3367)

5 用余弦函数cosx在x0 0，x1 多项式, 并近似计算cos日二次插值）

，x2 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值42

6

及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗

解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为

L(x)

(x /4)(x /2)(x 0)(x /2)1(x 0)(x /4)

1 0

(0 /4)(0 /2)( /4 0)( /4 /2)2( /2 0)( /2 /4)

8(x /4)(x /2)

2

82x(x /2)

2

L() 6

8( /6 /4)( /6 /2)82 /6( /6 /2)

2

2

2 42

0.8508 9

绝对误差为：cos

2 429 4 82 L() 0.0153 662918

L()66L()6

cos

相对误差为：

9 4 824 82

0.0179

余项为：

r(x)

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