3.1、3.2、3.3 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线

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1.正射影的概念 给定一个平面α,从一点A 作平面α的垂线，垂足为点 A′ ,称 点A′ 为点A在平面α上的正射影. 一个图形上 点A′所组成的图形，称为这个图形在平面 α上的正射影.

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2.平行射影 设直线l与平面α相交，称 直线l的方向 为投影方向，过点A 作 平行于l 的直线(称为投影线)必交α于一点A′,称 点A′

为A沿l的方向在平面α上的平行射影.一个图形上各点在平面α上的平行射影 所组成的图形，叫 做这个图形的平行射影.

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3.正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行

的.因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直.而平行射影的投影光线与投影面斜 交.平面图形的正射影与原投影面积大小相等.而一般 平行射影的面积要小于原投影图形的面积.

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4.两个定理 (1)定理1:圆柱形物体的斜截口是椭圆. (2)定理2:在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O

点，夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π,若它与轴l的交角为β(当π与l平行时， 记β=0),则 ①β>α,平面π与圆锥的交线为 ②β=α,平面π与圆锥的交线为 椭圆 . 抛物线 . 双曲线 .

③β<α,平面π与圆锥的交线为

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[例1]

如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平

行射影是A.椭圆 C.线段 [思路点拨] B.圆 D.射线

(

)

要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看

投影面与椭圆所在平面的位置关系. [解析] 因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平

行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等.

[答案]

A

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平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键 点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确

定平面图形的正射影.

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1.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是： ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直 线；④一条直线及其外一点. 在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有 正确结论的编号) 解析：如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两直

线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异面矛盾，所以③错，故正确答案：①②④.

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答案：①②④

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2.梯形ABCD中，AB∥CD,若梯形不在α内，则它在α 上的射影是____________. 解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯

形ABCD在α上的射影是一条线段.如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线 的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯 形ABCD在平面α上的射影仍是梯形. 答案：一条

线段或梯形

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3.已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影 为A′(A′不在BC上). (1)当∠BAC=90°时，求证：△A′BC为钝角三角形； (2)当∠BAC=60°时，AB、AC与平面α所成的角分别是

30°和45°时，求cos∠BA′C.

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解：(1)证明：∵AB>A′B,AC>A′C, ∴A′B2+A′C2<AB2+AC2=BC2. A′B2+A′C2-BC2 ∴cos ∠BA′C= <0. 2A′B· A′C ∴∠BA′C 为钝角.∴△A′BC 为钝角三角形. (2)由题意，∠ABA′=30° ,∠ACA′=45° . 设 AA′=1,则 A′B= 3,A′C=1,AC= 2,AB=2, ∴BC= = AC2+AB2-AC· cos∠BAC AB·

6-2 2,

A′B2+A′C2-BC2 6- 3 cos ∠BA′C= = . 3 2A′B· A′C

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[例2]

如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们

与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2,并且和圆 柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2. 求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦 点的椭圆.

[思路点拨]

证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平

面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明.

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[证明]

如图，设点P为曲线上任一点，

连接PF1、PF2,则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点为F1、F2,过P作母线，与 两球面分别相交于K1、K2,则PK1、PK2分 别是两球面的切线，切点为K1、K2. 根据切线长定理的空间推广 ，

知PF1=PK1,PF2=PK2,所以PF1+PF2=PK1+PK2=K1K2. 由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆.

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(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin

双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状. (2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点 引球的切线，切线长都相等).