2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高一年级）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．设集合E x|sinx|

12,x (

4

3,

) ，则E的真子集的个数为 15 ．

3

2．已知函数f(x)

6x bx 4

2

的最大值为

94

，则实数b 5 ．

3．若|lg | 1，则使函数f(x) sin(x ) cos(x )为奇函数的 的个数为

4．在△ABC中，已知 B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，BK

322

，则

△ABC的面积为

1516

7

．

*

5．数列{an}满足：a1 1,a2 3，且an 2 |an 1| an(n N)．记{an}的前n项

和为Sn，则S100 ．

6．已知OA a，OB b，过O作直线AB的垂线，垂足为P．若|a| 3,|b|

AOB

3，

6

，OP xa yb，则x y -2 ．

7．已知实数x,y,z满足xyz 32，x y z 4，则|x| |y| |z|的最小值为 ．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知二次函数f(x) ax bx c的图象经过点( 2,0)，且不等式

2

2x f(x)

12

x 2对一切实数x都成立．

2

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若对一切x [ 1,1]，不等式f(x t) f()恒成立，求实数t的取值范围．

2x

解（1）由题设知，4a 2b c 0． ① 令2x

12

x 2，解得x 2，由题意可得2 2 f(2)

2

12

2 2，即

2

4 f(2) 4，所以f(2) 4，即4a 2b c 4． ②

由①、②可得c 2 4a,b 1． ……………………4分 又f(x) 2x恒成立，即ax2 (b 2)x c 0恒成立，所以a 0，且

(b 2) 4ac 0，即(1 2) 4a(2 4a) 0，所以a

2

2

14

，从而c 2 4a 1．

因此函数f(x)的解析式为 f(x)

x

14

2

x x 1． ……………………8分

2

2

1 x x

（2）由f(x t) f()得(x t) (x t) 1 1，

244 2 2

1

整理得 (x 2t)(x 当 2t

2t 83

2t 83

) 0．

2t 83

即t 2时， 2t x ，此不等式对一切x [ 1,1]都成立

2t 1

的充要条件是 2t 8，此不等式组无解．

1 3

2t 82

当 2t 即t 2时，(x 2t) 0，矛盾． ……………………12分

32t 82t 8

x 2t，此不等式对一切x [ 1,1]都成立当 2t 即t 2时，

33

2t 8

51 1

t 的充要条件是 ，解得． 3

22 2t 1

综合可知，实数t的取值范围是

52

,

1

． ……………………16分 2

10．已知数列{an}中，a1 1,a2

14

，且

an 1

(n 1)ann an

(n 2,3,4, )．

（1）求数列{an}的通项公式；

n

（2）求证：对一切n N，有 ak2

k 1

*

76

．

解 （1）由已知，对n 2有

1an 1

1

n an(n 1)an

1n(n 1)

n(n 1)an

1n 1

，

两边同除以n，得

1nan 1

(n 1)an1n 1

1n

，

即

1nan 1

n 1

1(n 1)an

()， ……………………5分

n 1

1 11 1 1

(1 )， 于是， (k 1)ak k n 1k 2 kak 1k 2 k 1

即

1(n 1)an

1

1a2

(1

1n 11

),n 2，

所以

1a2

(n 1)an

(1

n 11

)

3n 2n 1

*

，an

13n 2

,n 2．

又n 1时也成立，故an （2）当k 2，有

ak

2

3n 2

,n N． ……………………10分

1(3k 2)

2

1

(3k 4)(3k 1)

1

33k 4

(

1

13k 1

)，………………15分

所以n 2时，有

n

n

k 1

a

2

k

1

k 2

ak 1

2

1 111111

( ) ( ) ( ) 3 25583n 43n 1

1

1 11 17

1 . 3 23n 1 66

76

n

2

又n 1时，a1 1

.

故对一切n N，有 ak2

k 1

*

76

． ……………………20分

11．设P x4 6x3 11x2 3x 31，求使P为完全平方数的整数x的值． 解 P (x2 3x 1)2 3(x 10)．

所以，当x 10时，P 1312是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x满足要求．

（1）当x 10时，有P (x2 3x 1)2，

又P (x2 3x)2 2x2 3x 31 0，所以P (x2 3x)2， 从而(x2 3x)2 P (x2 3x 1)2．

又x Z，所以此时P不是完全平方数． ……………………10分 （2）当x 10时，有P (x2 3x 1)2．令P y2,y Z， 则|y| |x2 3x 1|，即|y| 1 |x2 3x 1|， 所以 y2 2|y| 1 (x2 3x 1)2， 即 3(x 10) 2|x2 3x 1| 1 0．

解此不等式，得x的整数值为 2, 1,0, 3, 4, 5, 6，但它们对应的P均不是完全平方数．

综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10. ……………………20分