【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[知识能否忆起]

一、两个向量的夹角 1．定义

已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做

向量a与b的夹角．

2．范围

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

3．向量垂直

如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. 二、平面向量数量积

1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|²cos θ叫做a与b的数量积，记作a²b，即a²b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

规定0²a＝0.

当a⊥b时，θ＝90°，这时a²b＝0. 2．a²b的几何意义：

数量积a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 三、向量数量积的性质

1．如果e是单位向量，则a²e＝e²a. 2．a⊥b a²b＝0.

3．a²a＝|a|，|a|＝a²a.

2

a²b4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)

|a||b|

5．|a²b|≤|a||b|. 四、数量积的运算律 1．交换律：a²b＝b²a.

2．分配律：(a＋b)²c＝a²c＋b²c.

3．对λ∈R，λ(a²b)＝(λa)²b＝a²(λb)． 五、数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： 1．a²b＝a1b1＋a2b2. 2．a⊥b a1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝a1＋a2.

2

2

a²ba1b1＋a2b2

4．cos θ＝＝2.(θ为a与b的夹角) 222

|a||b|a1＋a2 b1＋b2

[小题能否全取]

1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( ) A．|a|＝a²a C．λ(a²b)＝λa²b

B．|a²b|＝|a|²|b|

D．|a²b|≤|a|²|b|

解析：选B |a²b|＝|a|²|b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a²b|＝|a||b|，可知B是错误的．

2．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为( ) A．2 C．－2

3

B.23D2

3

解析：选D |b|cos θ＝3cos 120°＝－.

2

3．(2012²重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( ) A.5 B.10 C．5 D．10

解析：选B ∵a⊥b，∴a²b＝0，即x－2＝0，∴x＝2. ∴a＝(2,1)，∴a＝5，b＝5，|a＋b|＝2

2

a＋b＝＋2a²b＋b5＋5＝10.

4．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a²b＝________.

解析：a²b3答案：3

5．已知|a|＝1，|b|＝6，a²(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________. 解析：∵a²(b－a)＝a²b－a＝2，∴a²b＝2＋a＝3. ∴cos θ＝

2

2

3

＝3. 2

a²b31π

.∴向量a与b的夹角为|a|²|b|1³623

π答案：3

1.对两向量夹角的理解

(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．

(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.

(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．向量运算与数量运算的区别

(1)若a，b∈R，且a²b＝0，则有a＝0或b＝0，但a²b＝0却不能得出a＝0或b＝0.

(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a²b＝a²c及a≠0却不能推出b＝c.

(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a²b)²c与a²(b²c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．

(4)若a，b∈R，则|a²b|＝|a|²|b|，但对于向量a，b，却有|a²b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．

典题导入

[例1] (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)²c＝30，则x＝( )

A．6 C．4

B．5 D．3

(2) (2012²浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB²AC＝

________.

[自主解答] (1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)， 所以(8a－b)²c＝(6,3)²(3，x)＝30. 即18＋3x＝30，解得x＝4.

(2) 如图所示，∵AB＝AM＋MB，AC＝AM＋MC―→＝ AM－MB，

2

∴AB²AC＝(AM＋MB)²(AM－MB)＝AM－ 2 2 2

MB＝|AM|－|MB|＝9－25＝－16.

[答案] (1)C (2) －

16

由题悟法

平面向量数量积问题的类型及求法

(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a²b＝|a||b|²cos θ求解； (2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．

以题试法

1．(1)(2012²天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝

λAB，AQ＝(1－λ) AC，λ∈R.若BQ²CP＝－2，则λ＝( )

1

A. 34

C. 3

2B.3D．2

解析：选B 由题意可知BQ＝AQ－AB＝(1－λ) AC－AB，CP＝AP－AC

2 2

＝λAB－AC，且AB²AC＝0，故BQ²CP＝－(1－λ) AC－λAB＝－2.又 2

|AB|＝1，|AC|＝2，代入上式解得λ＝3

π

(2)(2011²江西高考)已知两个单位向量e1，e2b1＝e1－2e2，b2＝

33e1＋4e2，则b1²b2＝________.

解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，

则b1²b2＝(e1－2e2)²(3e1＋4e2)＝3e1－2e1²e2－8e2. π

又因为e1，e2为单位向量，夹角为，

31

所以b1²b2＝3－2³8＝3－1－8＝－6.

2答案：－6

2

2

典题导入

[例2] (1)(2012²福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为( )

A．150° B．90° C．60°

D．30°

(2)(2011²新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

[自主解答] (1)∵a²b＝1³2³cos 120°＝－1，c＝－a－b，∴a²c＝a²(－a－b)＝－a²a－a²b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.

∴a与c的夹角为90°.

(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)²(ka－b)＝0， 即ka＋ka²b－a²b－b＝0. ∴k－1＋ka²b－a²b＝0.

即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B

(2)1

若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．

解：设|a|＝m(m>0)，a，b的夹角为θ，由题设知 …… 此处隐藏：8023字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……