大学物理论文之微积分在大学物理中的应用

大学物理 课程论文

课题名称：微积分在物理学中的应用 专 业：数学与应用数学 班 级：12数本

学 号：1202220015 姓 名：张雪琪 指导老师：刘波

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微积分在物理学中的应用

摘要

微积分在物理学中的应用非常广泛，如质点运动学、质点动力学、刚体定轴转动、静电场、恒定磁场等都要用到微积分来解决的问题。本文主要探讨大学物理中应用微积分的思维方法解决力学中运动和做功问题。

利用微积分方法处理较复杂运动学问题时，可以先将运动和做功过程化整为零，分割成许多在较小空间范围内可以近似处理的基本运动学问题，然后对此简单的基本问题进行讨论，最后把所有局部范围内研究结果累积起来就可得到问题的结果。在理论分析时把分割过程无限地进行下去，局部范围便无限地小下去，把所有的无限多个微分元的结果进行叠加，便是积分这就是微积分的主要思想和方法。这是一种辩证的思想和分析方法，

其关键就是：化整为零，积零为整。

(一)微积分与物理学

物理学是定量科学，所以在物理学中广泛地使用数学，可以说数学是物理学的语言。可见，物理学是离不开数学的，因为数学为物理学提供了定量表示和预言能力，在相当长的一段时间里，数学与物理几乎是不可分割地联系在一起。而微积分作为数学的一大发现在物理学中的应用更是非常的广泛。

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。微积分学是微分学

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和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想

看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在大学物理中，微积分思想发挥了极其重要的作用。

(二）微积分在质点运动学中的应用

2-1 .用微积分解决速度和加速度问题 1.速度

速度是为了描述质点位置变化的快慢和位置变化的方向而引入的。

(1)平均速度

如果质点在t到t+Δt这段时间内的位移是Δ

r，则Δr与Δt的比值即为平均速度，它反映该段时间内质点位置变化的方向和平均快慢。

(2) 瞬时速度

将t到t+Δt时间内当Δt→0时质点平均速度Δr/Δt的极限，定义为质点在t时刻的瞬时速度，简称速度，用v表示，即

速度的大小为：

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速度的方向用方向余弦表示为：

2.加速度

加速度是为了描述质点速度变化的快慢和速度方向的变化的物理量，等于速度对时间的一阶导数，或 等于位置矢量对时间的二阶导数，用a表示，加速度的单位：米/

（

）。 即有：

a的大小为 ：

其中

表示三个坐

标分量。式子表明，任何一个曲线运动都可以分解为沿x，y， z 三个方向的直线运动，每个方向上的运动是相互独立的，整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理。 方向用方向余弦表示为 ：

3.有关速度和加速度的例题

例. 如图1-3所示，设时刻t质点位于A点，速度为 (t)，经时间

运动到

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B点，速度为， 则求质点在解： 速度的增量为：

内速度和加速度。

平均加速度为：

瞬时加速度为：加速度的大小： 加速度的方向是：当 应该注意到，

。

时，速度增量

的极限方向。

的方向和它的极限方向一般不同于速度的方向，因而加速

度的方向与同一时刻速度 的方向一般不相一致。 如图所示： 可以看出在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。

2-2用微积分解决变力做功问题 1.功

在生活和生产活动中，人们经常使用各种机械，机械除了能施力与物体外，还能改变物体的运动状态，实现不同形式的能量之间的转换。 (1).功等于质点所受的力和它的位移的标量积。

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如果质点在恒力F作用下直线运动，其位移Δr的大小为Δs，力F与位移Δr的夹角为α，力在质点位移方向上的投影为Fcosα,则直线运动中恒力的功定义为：

W=FΔscosα 或 W=F·Δr

功是导出单位，可用牛米（N·m）叫做焦耳，符号为J.

(2).变力的功

实际问题中，力的大小和方向往往都是变化的，一般情况下，质点做曲线运动。因此，需要研究如何计算变力的功。

.先将运动轨迹分割为许多个无穷小段，每一小段可看做是直线，并

且在这一小段上的力变化不明显可看做是恒力，则可计算出这一小段上的功，称之为元功。计算公式为：dW=F·dr=Fds cosα

.计算质点从a到b的过程力F所做的总功W，显然W等于各元功

之和，该和式在数学上的表示为：W= (3).有关变力做功举例

例：质点M 在变力作用下，沿曲线轨迹由a 运动到b，变力作的功。

ab

Fcosαds

解：

在

一段上的功：

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在ab一段上的功

(4).说明

功是标量，且有正负

合力的功等于各分力的功的代数和

一般来说，功的值与质点运动的路径有关

(三）总结

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这次的论文关于微积分在大学物理的应用，只是简要的例举几个比较重要的应用。因为我们现在正在学习微积分，所以对它还比较熟悉，就选择这个题目，并且在学习了大学物理之后才发现微积分在大学物理中的应用太广泛了。

通过这次论文的我也更加的感觉到微积分的重要性，同时也对大学物理的学习更加的深入，对以前的一些知识点理解的更加透彻。同时也让我真正了解了微积分的实际运用，以及数学和物理学之间相互。不仅加深了对知识点理解和应用，还扩展了自身的认识范围，我也从中学到了很多新知识。 参考文献：

梁绍荣.《普通物理学·力学》（第三版）.高等教育出版社. 2008年7月 祝之光.《物理学》（第三版）.高等教育出版社2009年1月

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