高等数学 第十节 闭区间上连续函数的性质

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第十节

闭区间上连续函数的性质

P 69

定理 1 . ( 最大最小值定理)

闭区间上的连续函数一 定有最大值和最小值.

a

ξ图 一

b

a

ξ图 二

b

a ξ1

ξ2 b

图 三

f (ξ ) = max f ( x ) = Mx∈[ a , b ]

f (b) = M

f (ξ 2 ) = M

f ( a ) = min f ( x ) = mx∈[ a , b ]

f (ξ ) = m

f (ξ 1 ) = m1

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闭区间上的连续函数一 定有最大值和最小值.分析 : 两个条件缺一不可 : 2). 函 数连续. 1). 闭区间; 反例 : 1 1) . g( x ) = 在开区间 (0 , 1) 上连续 , 但没有最大值 . x(1 x ) 在闭区间 [0 , 2] 上除 x = 1 外 x <1 x +1 2) . ( x ) = 1 x =1 处处连续 , 它没有最大值 x 1 x >1 和最小值 .y = g( x )

( 最大最 小值 定理)

y = ( x)

o

1

o

1

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定理 2 . ( 有界性定理)

闭区间上的连续函数有 . 界 因为 m ≤ f ( x ) ≤ M 当 x ∈ [a , b] 时成立 ,或 f ( x ) ≤ max{ M , m

} 在 [ a , b ] 上成立 .

那么在开区间(a , b)内至少有一点ξ , 使 ξ ∈( a , b) f (ξ ) = 0ξ

定理 3 . ( 零点定理) 函数 f ( x) 在闭区间[a , b] 上连续, f (a) f (b) < 0 ,证明从略 .

b

a

ξ1

a

ξ2b3

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定理 4 . ( 介值定理)

函数 f ( x) 在闭区间[a , b] 上连续, f (a) = A , f (b) = B且 A≠ B , 那么, 对于A与B之间的任意一个数C , 在开区间( a , b)内至少存在一点ξ , 使 f (ξ ) = C ξ ∈( a , b)证明 . 令 ( x ) = f ( x ) C ,

则 ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 , 且 (a ) 与 (b ) 异号 ,

应用零点定理得 : 在开区间 ( a , b ) 内至少有一点 ξ , 使

(ξ ) = 0 ,即

f (ξ ) C = 0 ,

BC A

∴

f (ξ ) = C ξ ∈ (a , b)

a

ξ b

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推论 闭区间上的连续函数必 取得介于最大值M与

最小值m之间的任何值.证 . 设 f ( x1 ) = m , f ( x2 ) = M , m < M ,

在闭区间 [ x1 , x2 ] ( 或 [ x2 , x1 ] ) 上应用介值定理 ,即得上述推论 .

MC m

a x 2 ξ x1 b5

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例 1 . 证明方程 x = a sin x + b , 其中 a > 0 , b > 0 , 至少有一个正根 , 并且它不超过 a + b .

证 . 设 f ( x ) = x a sin x b ,则 f ( x ) 在闭区间 [ 0 , a + b ] 上连续 , 且

f ( 0) = b < 0 , f (a + b ) = a + b a sin( a + b ) b = a [1 sin( a + b ) ] ≥ 0 .

若 f ( a + b ) = 0 , 则 a + b 就是原方程的一个根 ;

若 f ( a + b ) > 0 , 在 [ 0 , a + b ] 上应用零点定理 ,存在 ξ ∈ ( 0 , a + b ) , 使 f (ξ ) = 0 . 此 ξ 就是原方程的一个根 .6

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例 2 . 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , a < x1 < x2 < < x n < b , 则在 [ x1 , xn ] 上必有 ξ , 使

f ( x1 ) + f ( x 2 ) + + f ( xn ) f (ξ ) = . n 证 . f ( x ) 在 [ x1 , xn ] 上连续 ,

设 M = max

x∈[ x1 , x n ]

f ( x) , m =

x∈[ x1 , x n ]

min

f ( x) ,

f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) 记 C= n (C为 f ( xi )的算术平均数) 则有 m ≤ C ≤ M ,在 [ x1 , xn ] 上应用介值定理得 : 存在 ξ ∈ [ x1 , xn ] , 使 f (ξ ) = C .7

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例 3 . 证明

: 若 f ( x ) 在 ( ∞ , + ∞ ) 内连续 , 且 lim f ( x )

存在 , 则 f ( x ) 必在 ( ∞ , + ∞ ) 内有界 .

x →∞

证 . 设 lim f ( x ) = A ,x →∞

给定 ε = 1 ,

X > 0,

当 x > X 时,f ( x) < A + ε = A + 1 .

A ε < f ( x) < A + ε .

又当 x ≤ X 时 , 即当 x ∈ [ X , + X ] 时 , f ( x) ≤ K . ∴ ( 闭区间上的连续函数有 界 )

f ( x ) ≤ max{ K , | A | +1} 在 ( ∞ , + ∞ ) 内成立 . ) X ( X

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小结 :最大最小值定理 , 有界性定理 , 零点定理 ,

介值定理及其推论归纳为 :闭区间 [ a , b ] 上的连续函数 f ( x ) : 1. 存在最大值 M 和最小值 m ; 2 . 有界 ;

C ∈ m M ξ [ ] 3 . C ∈ ([m ,, M )], ξ ∈ (a , b ) , 使 f (ξ ) = C .

( 介值定理和零点定理是3的特殊情况. )9