第八章 欧氏空间 - 高等代数厦门大学精品课程

第八章欧氏空间  Euclidean Space

§8.1 内积和欧氏空间

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§8.1 目的与要求   掌握内积、欧氏空间的概念   熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、夹角、正交等   熟练掌握Cauchy­Schwarz不等式的含义及应用

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欧氏空间_1 

 定义1:设V是 R上线性空间,映射(-,-): V´ V ® R 称为内积, 如果对任意 a, b, gÎ V, c Î R 有 对称 (1) (a, b )= ( b, a )  线性 (2) (a+ b, g )= (a, g )+ ( b, g )  非负 (3) (ca, b )= c  (a, b )   (4)  (a, a )³ 0 且等号成立当且仅当 a= 0 . 则称V为关于内积( - , - )的(欧氏空间).厦门大学数学科学学院网址: http://www.77cn.com.cn 

例子 

T  n  )  例1: R 是n维欧氏空间, 若 X= (a1, a2 , ..., a  n ,  T  Y= (b1, b2 , ..., b  ) n , 定义内积如下:  T  ( X, Y )= X Y= a1b1+ a2 b2 + ... + an b  n  n 该内积称为 R 上的标准内积. 

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例子 æ a1öæ b  1 ö  例2:  R上对 "X=ç÷,  Y =ç÷è a2øè b  2 ø  1)  ( X, Y )= a1b1 - a2 b1 - a1b2+ 4a  2 b  2 2 

是内积  2)  ( X, Y )= max(| ai|,| b  i |) i = 1,2 

不是内积 

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例子 ] , 定义  例3: 设 f ( x ), g ( x )Î C[a, b  b  ( f, g )=ò  f ( x ) g ( x )dx   a 则C[a, b]是无限维内积空间. T   例4: R 上定义(A, B) = tr(A  B), 是欧氏空间么? (作业)n´n 

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欧氏空间_2  设V是关于内积( - , - )的欧氏空间, 则对于任意

a, a i, b jÎ V, c, ai, b j Î R( i= 1, 2, ..., m j = 1, 2, 

..., n  ) 总有  (1) (0, a )= 0   (2) (a, b+ g )= (a, b )+ (a, g )   (a, b )   (3) (a, c b )= c  m n m n  (4) (å i=1 aia i,å j=1 b j b j )=å i=1å j =1 ai b j (a i, b j ). 厦门大学数学科学学院网址: http://www.77cn.com.cn

欧氏空间_3   定义2:设V 是欧氏空间, aΠV , 定义a的长度为: | a | .  (a, a ) , 记为 长度还满足| ca|=| c || a|, c Î R. 长度为1的向量称为单位向量. 对任意非零向 a a量 a , | a| 是单位向量. 从 a 得到单位向量| a| 的过程称为把 a单位化.  在欧氏空间 R n中, 向量 X= (a1, a2 , ..., a n )T  的长度是2 2 2 | X|= a1+ a2 , ..., a  n  . 厦门大学数学科学学院网址: http://www.77cn.com.cn

欧氏空间_4   定理1:  (Cauchy­Schwarz不等式) 设V是欧氏空间, 对任意的 a, bΠV 总有 (a, b )2 £ (a, a

)( b, b ). 当且仅当 a, b 线性相关时, 等号成立.   例5: 对任意实数 ai, bi ( i= 1, 2, ..., n 总有 ) ( a1b1+ ...+ an bn )£ ( a+ ...+ a )( b+ ...+ b  ) 2 2 1 2 n 2 1  2  n 

], 总有 对任意 f ( x ), g ( x )Î C[a, b 

(ò

b

a

f ( x ) g ( x )dx

) £ò

2 

b

a

f ( x )dxò  g ( x )dx  a 

2

b 

2 

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欧氏空间_5   定义3: 在欧氏空间V 中,定义非零向量 a, b 的夹角 q 由下式决定 (a, b )  cos q=, 0£ q£ p . | a|| b| 

 定义4: 在欧氏空间V 中,两个向量 a, b称为正交的, 如果 (a, b )= 0 , 记为a ^ b .   注1: 零向量和任何向量正交    注2: 只有零向量和自己正交. 厦门大学数学科学学院网址: http://www.77cn.com.cn

例子   例6: 在 R 中, 求一单位向量与4 

a1 = (1,1, -  1,1)T , a 2 = (1, -1, -  1,1)T , a 3 = (2,1,1, 3)T  均正交. 

最后, 设U是欧氏空间V 的子空间, 则易见  U关于V 的内积也构成欧氏空间, 称为欧氏子空间. 厦门大学数学科学学院网址: http://www.77cn.com.cn

§8.2 目的与要求   掌握正交基、标准正交基的概念   熟练掌握向量组的Schmidt正交化的计算   掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的关系   熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件   掌握正交补空间的概念

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标准正交基_1 定义1 设V 中一组向量 a1, a 2 , ..., a m 满足 (a i, a j )= 0,( i¹ j, i, j= 1, 2, ..., m ), 则称它们为一正交向量组. 若还满足| a i |= 1, ( i= 1, 2, ..., m ), 则称为V 的标准正交向量组. 定理1 欧氏空间V 的非零正交向量组必线性无关. 厦门大学数学科学学院网址: http://www.77cn.com.cn

标准正交基_2   定义2: 欧氏空间V 中的一个两两正交的向量组构成的基称为正交基. 若正交基的每个向量都是单位向量, 则称为标准正交基.   例1:在欧氏空间 R n 中,  e 1, e 2 , ..., e n 是一个标准 e n 是一个正交基, 但正交基. 向量组 e 1, 2e 2 , ..., n 不是一个标准正交基. e 1, e 1+ e 2 , .. …… 此处隐藏：1251字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……