4.3.2_二次根式的混合运算[1]

4.3

二次根式的加、减法二次根式的混合运算

说一说如果梯形的上、下底长分别为2 2 cm, 4 3 cm, 高为 6 cm ,那么它的面积是多少？梯形面积 = 1(2 2 +4 3) ×6 2 =( 2 +2 3) ×6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2 (cm2).

二次根式的混合运算是根据实数的运算 律进行的.

例3 计算：(1) 3 × 2 ; 68

( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).

解

(1)

3 6 - × 2 8

= 6× 2- 3 × 2 8 = 6× 2 - 3× 2 8 = 3× 2× 2 - 3 4 = 2 3- 3 2 = (2-1) 3 2 = 3 3; 2

( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2 - 3 2× 2 = 2- 2 2+ 3 2 - 3× 2 = -4 + 2 .

例3 计算： ( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似. 我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.

例4 计算：( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ; ( 2 )( 2 - 3 )2 .

解

( 1 ) ( 2 + 1 )( 2 - 1 ) = ( 2 )2 - 12= 2- 1 = 1 ;

( 2 ) ( 2 - 3 )2 = ( 2 )2 - 2· 2 · 3+( 3 )2 = 2- 2 6+3 = 5- 2 6.

动脑筋如何计算 2 +1? 2 -12+1 = ( 2+1)( 2+1) 2 -1 ( 2 -1)( 2+1) 从例4的第(1)小题的结 果受到启发，把分子与 2 +2 2+1 ( 2 ) 分母都乘以( 2+1) ,就 = 2 ( 2) -1 可以使分母变成1. = 2+2 2+1

= 3+2 2.

例5 计算：1- 5 . 1+ 5 解 1- 5 = (1- 5)(1- 5) 1+ 5 (1+ 5)(1- 5) 2 1 2 5+ ( 5 ) = 12 -( 5)2 = 1- 2 5+5 1- 5= 6- 2 5 -4 = -3 + 1 5. 2 2

练习1. 计算：

( 1 ) 5 × ( 15 - 4 3 ) ; 5

答案： 3答案： 5 3-3答案： 1

( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 ); ( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 );( 4 )( 5 + 3 2 )2 .

答案： 43+30 2

2. 计算：

(1)

2 ; 3 -1

答案： 2 ( 3 +1 ) 2

( 2 ) 2- 3 . 2+ 3

答案： 7- 4 3

小结与复习本章学习了二次根式和它的化简， 二次根式的加、减、乘、除运算.

二次根式的概念是在非负实数的平方根概念 的基础上引进的. 每一个正实数a有且只有两个平方根：

其中一个平方根是正实数，记做 a ,称它为 a的算术平方根；另一个平方根是 - a .

0 的平方根有且只有一个：0,记做 0 . 负实数在实数范围内没有平方根. 我们把形如 a 的式子叫做二次根式，a叫做 被开方数.

在实数范围内，只有当被开方数是非负实 数时，二次根式才有意义.