第1章 矩阵与行列式

大学数学

线 性 代 数授课教师：彭秀平

平时成绩计算方法：【100-100×(缺课加缺作业次数)/本课程总 上课次数加总作业次数】 ×30% 注： 1.作业采用每次抽查1/3的方式确定，缺课次 数采取上课时签到或者点名的方式确定。 2.因病(以医院证明为准)或因公(以学校 有关部门证明为准)缺作业或缺课不扣平时 成绩.

第一章 矩阵与行列式

1.1 矩阵及其运算 1.1.1 矩阵的定义一、实际例子

例1 设某物质有 m 个产地，n 个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调

运方案，可用一个数表表示如下：

销量 产地

1

2

…

j

……

n

1 2 i m

a11 a21

a12 a22

a1 j a2 j

a1n a2 n

ai1

ai 2

aij

ain

am1

am 2

amj

amn

记为 a11 a21 ai1 a m1 a12 a22 ai 2 am 2 a1 j aij a2 j a1n a2 n ain amn

amj

例2 解线性方程组x1 x2 x3 1 x2 x3 2 x1 x2 2 x3 1(1)—(2)(3)—(1)

x1 1x2 x3 2

(2)—(3)

x1 1

x2 2x3 0

x3 0

从上述过程中抽出系数，该过程可描述为： 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1 r1-r2 r3-r1

1 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 0

r2-r3

1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0

定 由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n) 义 有次序地排成 m 行(横排) n 列(竖排)的数表1.1.1

a11 a12 a21 a22 a m1 am 2

a1n a2 n amn

称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记 (aij)m×n,通常 用大写字母 A,B,C,…表示，m 行 n 列的矩 阵 A 也记为 Am×n,构成矩阵 A 的每个数称为矩 阵 A 的元素，而 aij 表示矩阵第 i 行、第 j 列的 元素。

注意： 只有一行的矩阵 A1×n = (a1 a2 … an) 称为行矩阵； 只有一列的矩阵 Am 1 a1 a2 称为列矩阵； a m

当m=n时，称A为n阶方阵或n阶矩阵； 两个矩阵 A、B,若行数、列数都 相等，则称 A、B 是同型的；

若 A = (aij)m×n, B = (bij)m×n 是同型的，且aij = bij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n) ,

则称 A 与 B 相等，记作 A = B; 元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，记作O; 不同型的零矩阵是不相等的。 几种特殊的方阵：

1. 对角矩阵

a11 0 a22 其中 aij = 0, i j ann n n 0 特别：

K

k k

0k

0

kEn 称为纯

量矩阵

2. 单位矩阵

1 0 1 En 0 1 n n称为n阶单位矩阵，简记为 E.

3. 上三角矩阵

a11 a12 a1n a22 a2 n , 0 ann 下三角矩阵

其中 aij = 0, i > j

a11 0 a21 a22 , a an 2 ann n1 4. 阶梯型矩阵(后面讲)

其中 aij = 0, i < j

1.1.2 矩阵的运算一、矩阵的加(减)法

定义1.2

设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 a b m1 m1 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn

则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n

称为矩阵 A 与 B 的和，记作 C = A+B。

性质

设 A,B,C,O 都是 m×n 矩阵，则

(1) A + B = B + A

(交换律)

(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (结合律)

(3) A + O = O + A = A

矩阵的减法(1) 负矩阵 设 A = ( aij ) m×n , 则称

( -aij ) m×n 为A的负矩阵，简记为-A

显然

A+ (-A)= O ,

-(-A) = A

(2) 减法： 设 A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n A-B = A + (-B ) = ( aij- bij ) m×n