自动控制原理(胡寿松第5版)及答案

2—1 设水位自动控制系统的原理方案如图 1—18 所示，其中 Q1 为水箱的进水流量， Q2 为水箱的用水流量，

H 为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为 F，希望水面高度 为 H 0 ，与 H 0 对应的水流量为 Q0 ，试列出

水箱的微分方程。

解 当 Q1 Q2 Q0 时，H H 0 ；当 Q1 Q2 时，水面高度 H 将发生变化，其变化率与流量差 Q1 Q2 成

正比，此时有

F

d (H H 0 )

dt

(Q

1

Q ) (Q Q )

2

于是得水箱的微分方程为

F

dH dt

Q Q

1

2

2—2 设机械系统如图 2—57 所示，其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式

及传递函数。

图 2—57 机械系统

解 ①图 2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得

&i &0 ) &0 m&&0 f1 ( x x f 2 xx

整理得

2 d xdxdx 0 ( f f 0 f i

dt 2

1 2

dt

1

dt

将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得

ms ( f f )s X (s) fsX (s)

2

1

2

1

i

于是传递函数为

X 0 (s)

X i (s)

f1

ms f1 f 2

②图 2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。 引出点处取为辅助点 B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：

& &0 ) xK1 ( xi x) f ( x

& &0 ) K 2 x0 f ( x x

消去中间变量 x，可得系统微分方程

dx0 dxi K ) K K x K ff (K

1

2

dt

1 2 0 1

dt

对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为

X 0 (s) X i (s)

fK1 s

f (K1 K 2 )s K1 K 2

③图 2—57(c)：以 x0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

&i &0 ) K 2 x0 K1 ( xi x) f ( x x

移项整理得系统微分方程

f

dx0 dt

(K

dxi

f

K 2 ) x0 K1 xi 1

dt

对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即

xi (0) x0 (0) 0

则系统传递函数为

X 0 (s)

X i (s)

fs K1 fs (K1 K 2 )

2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

图 2-58

电网络与机械系统

R 1

解：（a）：利用运算阻抗法得： Z

1

1

1C s

R R R //

1

C s

1

R C s

1

R1

1 1

T s

1

1

1

C1 s

1 1 1

RC T2 s 1 s 1 2 2Z 2 R2

C2 s C2 s C2 s

1

U (s)

所以：

Z

2

(T2 s 1) C s

R

(T s 1)(T s 1)

1

2

U i (s) Z1 Z 2

1 (T2 s 1) T1 s 1 2

R1C2 s (T1 s 1)(T2 s 1)

(b)以 K1 和 f1 之间取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

&i &0 ) f1 ( x&0 &) （1） K 2 ( xi x0 ) f 2 ( x x x

&0 &) （2） K1 x f1 ( x x

&i &0 ) K1 x 所以 K 2 ( xi x0 ) f 2 ( x x

（3）

对（3）式两边取微分得

&i &0 ) f 2 (&&i &0 ) K1 x& K 2 ( x xx &x

（4）

将（4）式代入（1）式中得

&i &0 ) K1 f1 x&0 &i &0 ) &i &0 ) K1 K 2 ( xi x0 ) K1 f 2 ( x x f1 K 2 ( x x f1 f 2 (&x &x

整理上式得

&0 f1 K 2 x&0 K1 f1 x&0 K1 f 2 x&0 K1 K 2 x0 f1 f 2 &x&i f1 K 2 x&i K1 f 2 x&i K1 K 2 xi f1 f 2 &x

对上式去拉氏变换得

1 1

f f s ( f K K

1 2 2

1

2

f K1 f 2 )s K1 K 2

X (s)

1 f 2 s ( f K K1 f f 2 )s K1 K 2 X i (s)

2 1 2

所以：

2

f1 f 2 K1 K 2

f1 f 2 K1 K 2

X 0 (s) X i (s)

f1 f 2 )s 1 s 1

f1 2 2

( f1 K 2 K1 f 2 )s K1 K 2

f 2

f1

f1 f 2 s ( f1 K 2 K1 f1 K1 f 2 )s K1 K 2

s (

2

f1

)s 1

K

1

K 2 K 2

ff1s 1)(

f 2

s 1)

K

K 2 f 2

f1

s 1)( s 1)

K

1

K 2 K 2

所以图 2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 2—4 试分别列写图 2-59 中个无源网络的微分方程式。

解：（a） :列写电压平衡方程：

duC

ui u0 uC

iC C

uC

dt

iR1

R1

duC

u0 (iC iR1 )R2 C

uC

u0 ui u0 d ui

dt

R2

R1

R2 C R1

R1

dt

整理得：

du0

R2

R du CR C 1 u0 CR i 2 u

2 i

R dt dt 1

(b) :列写电压平衡方程：

duC1

ui u0 uC1 （1） iC1 C1

dt

（2）

uC1 iC1 R uC1 duC 2 d (u0 iC1 R)

2i iC1 C2 iC 2 C1 C2

R dt dt

（3）

d (u0 iC1 R) uC1

即：（4） 2iC1 C2

dt R

将（1）（2）代入（4）得：

2

ui u0

R

u 2C

R

d …… 此处隐藏：3050字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……