记数的基本原理与排列组合

知识结构 排列

基 本 原 理

排列数公式

组合

组合数公式

应 用 问 题

分类计数原理，分步计数原理

分类计数原理 分步计数原理

完成一件事可以有n类 完成一件事需要分成n个 办法，在第一类中有m1种不 步骤，第一步有m1种不同的 同的方法，在第二类中有m2 方法，第二步有m2种不同的 种不同的方法， ，在第 方法，……，第n步有mn种 n类办法中有mn种不同的方 不同的方法，那么完成这件 事共N=m1×m2×……×mn 法，那么完成这件事共N= 种不同的方法。 m1+m2+ +mn种不同的方法。 分类计数原理针对的是 分步计数原理针对的是 “分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相 法相互独立，用其中任何一 互依存，只有各步都完成才 种方法都可完成这件事。 能完成这件事。

原理

区别

例、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2 层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

N＝4＋3+2＝9

(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?

N＝4 ×3×2＝24

例由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位数？ （各位上的数字可以重复）

解：第一步：选百位上的数字，有4种； 第二步：选十位上的数字，有5种； 第三步：选个位上的数字，有5种； 所以共有4 × 5 ×5=100个。

练习：有8名考生，报考5所院校， 每人限报一所， 不同的报法有

5

8

填空题 1．由数字2，3，4，5可组成________个三位数， _________个四位数，________个五位数． ２．用1，2，3 ，9九个数字，可组成 __________个四位数，_________个六位数． ３．商店里有15种上衣，18种裤子， 某人要买一件上衣或一条裤子，共有___种 不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有 _________种不同的选法．

33；270

①什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？ 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列. ②什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？ 从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. m 用符号 An 表示 ③排列数的两个公式是什么？

m

An n(n 1)(n 2) (n m 1)

n! A （ n ， m ∈ N* ， m≤n ） (n m)!

m n

1、计算： A 9A 8A 1 A

10 10 9 9 8 8 8 8

1

A A 25 2 4! 练习：

6 6 5 5

1 A 5 2 A 5

3 7

10! 3 6! 4! 4 n n 1 n 12

组合定义：一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m

(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的