复变函数的积分及其计算方法

复变函数的积分及其计算方法

石睿

(北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118)

摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。

关键词：柯西定理；柯西积分公式

引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论.

复积分的概念：

设C是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A，终点为B。函数f(z)在C上有定义。把曲线C任意分成n个小弧段。设分点为A=z0,z1,…,zn-1,zn=B,其中zk=xk+iylk(k=0,1,2,…,n)，在每个弧段

zk-1zk上任取一点ζ

k

=ξ

k

+iη

k

，做合式Sn

f(ζ

k 1

n

k

) (zk zk 1) f(ζk) Δzk，其中

k 1

n

zk zk zk 1 xk i yk。

记 max| zk|,当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk的选择，也不依赖对

1 k n

C的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C自A到B的复积分，记作

n

f(z)dz limf( k) zk.C 0 k 1

复积分的计算方法：

复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算

设

x x(t),

t .则CC:

y y(t), i {v[x(t),y(t)]x (t) u[x(t),y(t)]y (t)}dt

f(z)dz {u[x(t),y(t)]x (t) v[x(t),y(t)]y (t)}dt

{u[x(t),y(t)] iv[x(t),y(t)]}{x (t) iy (t)}dt

即

f[z(t)]z (t)dt.

C

f(z)dz f[z(t)]z (t)dt

例1求

dz

c(z z0)n，C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数

解：积分路径C的参数方程为 z

z0 rei

(0 2π),

C

i

2πiredz

nin d n0re(z z0)

当n=1时

ir

n 1

2π

e i(n 1) d ,

C

2πdz

i 0d 2 i; (z z0)n

当n≠1时

C

i2πdz

[cos(n 1) isin(n 1) ]d 0; n 1 n0r(z z0)

dz

所以 n

(z z)0z z0 r

2 i,n 1,

=

0,n 1.

结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关

柯西积分定理：

设函数（fz）在单连通域D内解析，则（fz）在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分此定理为柯西—古萨基本定理 例1 求

f(z)dz 0.

c

i

zcosz2dz 的值

i

解：

11 i112

zcoszdz cosz2dz2 sinz2 sin( 2) sin 2.

220220

i

2z 1

dz, 为包含圆周 z 1

z2 z

在内的任何正向简单闭曲线. 例2计算积分 解：函数在复平面内有z=0和z=1两个奇点

2z 1

dz 2z z

2z 12z 11111

dz dz dz dz dz dz 0 2 i 2 i 022z zz zz 1zz 1zC1C2C1C1C2C2

4 i.

柯西积分公式：

如果函数 f(z) 在区域 D 内处处解析,

它的内部全含于D，z0 为 C 内任一点,那么

C 为 D内的任何一条正向简单闭曲线,

f(z0)

1f(z)

dz. C2 iz z0

例1 (1)

1

2 i12 i

sinz2 1

dz;(2) dz. zz 1z 3 z 4z 4

sinz

,z 0 位于 z 4 内, dz因为 f(z) sinz 在复平面内解析zz 4

1

2 i

1sinz

2 i sinzz 0=0 dz2 izz 4

解：（1）

由柯西积分公式

（2）

2 1

dz z 1z 3 |z| 4

12dz dz 2 i 1 2 i 2 6 i. z 1z 3z 4z 4

1

1

2

例2 计算积分

z i

z(z2 1)

dz.

解：

1

z i

2

1z(z 1)

2

dz

z i

12

1

11z(z i)

2 i 2 i. dz 2 i

2iz iz(z i)z i

例3 计算积分C

sin

dz, 其中 C:(1) z 1 1;

z2 12

z

解：(1)

1

z 1

2

sin

zdz=z2 1

sin

z 1

12

z sinz

dz 2 i

z 1z 1

z 1

2

i; 2

1

(2) z 1 ;

2

解：(2)

1z 1

2

sin

sin

z

dz=2

z 1

z 1

12

sinzdz 2 i

z 1z 1

z 1

z

2

i; 2

(3) z 2.

解：(3)

z 2

sin

2

dz=z 1

z

1z 1

2

sin

2

dz z 1

z

z 1

sin

12

πz

dz 2 i 2 i i. z2 122

结论:

复变函数是一门很基本的课程，通过对复变函数的学习，我已经掌握了复积分的基本知识和解题方法，并感悟到了一些初步应用能力。我会在今后的学习中继续提高基础知识的水平，学好这门课程。

参考文献

【1】 复变函数与积分变换 高等教育出版社 【2】 复变函数 科学初版社