高三数学第一轮复习单元讲座 第29讲 等比数列教案 新人教版

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座29）—等比数列

一．课标要求：

1．通过实例，理解等比数列的概念；

2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。 二．命题走向

等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。

预测07年高考对本讲的考察为：

（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；

（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。 三．要点精讲

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那．．．．．．么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（2）（3）都是等比数列，它们的(q 0)，即：an 1：an q(q 0)数列对于数列（1）公比依次是2，5， 零）

2．等比数列通项公式为：an a1 q

n 1

12

。（注意：“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为

(a1 q 0)。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d 1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{an}为等比数列，则

aman

qm n。

3．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列a1,a2,a3, ,an, 的前n项和是Sn a1 a2 a3 an，当q 1时，Sn

a1(1 qn)

1 q1 q

说明：（1）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中

n 1

或Sn

a1 anq

；当q=1时，Sn na1（错位相减法）。

是q，通项公式中是q

n

不要混淆；（3）应用求和公式时q 1，必要时应讨论q 1的

情况。

四．典例解析

题型1：等比数列的概念

例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为

2

12

的等比数列一定是递减数列”；

“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；

命题2中可知an+1=an³

12

，an+1<an未必成立，当首项a1<0时，an<0，则

12

an>an，即

an+1>an，此时该数列为递增数列；

命题3中，若a=b=0，c∈R，此时有b ac，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac，则成为不必要也不充分条件。

点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。

n

例2．命题1：若数列{an}的前n项和Sn=a+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；

2

命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列；

命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

n－1

解析： 由命题1得，a1=a+b，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(a－1)²a。若{an}是等比数列，则

2

a2a1

=a，即

a(a 1)a b

=a，所以只有当b=－1且a≠0时，此数列才是等比数列。

由命题2得，a1=a+b+c，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差数列，则a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列。

由命题3得，a1=a－1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a－1，显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{an}才又是等比数列。

点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=

a1

当n 1时

Sn Sn 1,当n 2时

，正确判断数列{an}是等差数列或等比数列，

都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。

题型2：等比数列的判定

例3．（2000全国理，20）（Ⅰ）已知数列｛cn｝，其中cn＝2＋3，且数列｛cn＋1－pcn｝为等比数列，求常数p；（Ⅱ）设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列｛cn｝不是等比数列。

解析：（Ⅰ）解：因为｛cn＋1－pcn｝是等比数列，

2

故有：（cn＋1－pcn）＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1），

nn

将cn＝2＋3代入上式，得： n＋1n＋1nn2n＋2n＋2n＋1n＋1nnn－1n－1［2＋3－p（2＋3）］＝［2＋3－p（2＋3）］²［2＋3－p（2＋3）］，

nn2

即［（2－p）2＋（3－p）3］

n＋1n＋1n－1n－1

＝［（2－p）2＋（3－p）3］［（2－p）2＋（3－p）3］，

整理得

nn

1nn

（2－p）（3－p）²2²3＝0，解得p=2或p=3。 6

（Ⅱ）证明：设｛an｝、｛bn｝的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn。

2

为证｛cn｝不是等比数列只需证c2≠c1²c3。

222222

事实上，c2＝（a1p＋b1q）＝a1p＋b1q＋2a1b1pq，

22222222

c1²c3＝（a1＋b1）（a1p＋b1q）＝a1p＋b1q＋a1b1（p＋q），

22

由于p≠q，p＋q＞2pq，又a1、b1不为零，

2

因此c2≠c1²c3，故｛cn｝不是等比数列。

点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。 例4．（2003京春，21）如图3—1，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切， ，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续

*

下去.记圆On的面积为an（n∈N），证明{an}是等比数列；

证明：记rn为圆On的半径，则r1=

3l

l。tan30°=62

rn 1 rnrn 1

r1=

2

11

=sin30°=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=π rn23,an

(

rnrn 1

)2

1

，故{an}成等比数列。 9

l2

12an 1

点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。

题型3：等比数列的通项公式及应用

例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

2

解析：设所求的等比数列为a，aq，aq；

则2(aq+4)=a+aq，且(aq+4)=a( …… 此处隐藏：8075字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……