南邮电磁场第2章习题解答

第2章习题解答

2.2已知半径为a、长为l的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度 V

0

a，

0 a 。试求总电量Q。

解：Q

V

VdV

l

00

2πa

0

a

d d dz πla2 0

23

2.3 半径为R0的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q。当球以角速度 绕某一直径(z轴)旋转时，试求

其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 S

Q

2

4πR0

面电流密度为 JS S v S R0sin

QQ sin

Rsin 02

4πR04πR0

2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流JS e JS0。已知导线的直径为d，导线中的电流为I0，试

求JS0。

I04I0

22

π(d/2)πd

4I

由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 JS Jd 0

πd4I

因此，等效面电流密度为 JS e 0

πd

2.6 两个带电量分别为q0和2q0的点电荷相距为d，另有一带电量为q0的点电荷位于其间。为使中间的

解：每根导线的体电流密度为 J

点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-q0时，结果又如何？ 解：设实验电荷q0离2q0为x，那么离q0为d x。由库仑定律，实验电荷受2q0的排斥力为

F1

实验电荷受q0的排斥力为

12q0

2

4π x

q01

2

4π (d x)

q012q01

要使实验电荷保持平衡，即F1 F2，那么由，可以解得 22

4π x4π (d x)

F2

x

22 1

d 0.585d 22 1

d 0.585d。只是这时实验电荷与q0和2q0不

如果实验电荷为 q0，那么平衡位置仍然为x 是排斥力，而是吸引力。

2.7 边长为a的正方形的三个顶点上各放置带电量为q0的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E。 解：设点电荷的位置分别为q0 0,0,0 ，q0 a,0,0 和q0 0,a,0 ，由库仑定律可得点P a,a,0 处的电

场为

1 E exey

4π 0

e ex

y

q0

2

ey

1q01q0

ex

4π 0a24π 0a2

1q0

2.9半径为R0的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为 S0，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均

匀分布在半径为R0的半球内，再求球心处的电场强度。 解：面电荷密度产生的电场强度为

E r

14π 0

2π

S

r r

r r

π/2

3

S0

dS

2

根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着z方向。由于dS R0sin d d ，那么

E r ez

S0

4π 0

d

sin2 d ez

S0

4 0

如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为

22πR0 S03 S0Q

33

2πR0/32πR0/3R0

把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为dr 的球壳产生的电场强度为

dE r ezdr

4 0

那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为

E r ) ez

4 0

R0

dr ez

3

R0 ezS0 4 04 0

2.14 如题2.14图所示，两个半径分别为a和b b a 的球面之间均匀分布着

体电荷，电荷密度为 0。两球面的球心相距为d，且d a。试求空腔内的电场。

解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为 0和 0的体电荷，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为 0、

半径为b的大圆球产生的场和电荷密度为 0、半径为a的小圆球所产生的的场的叠加。由高斯定理，

大圆球在球内产生的电场为

0 ——场点到大球球心的距离Q

rbr rbb

3 rb23

0 ——场点到小球球心的距离 Q而小圆球在球内产生的电场为 Ea rar raa2

3 ra3

因此合成场为 E 0rb 0ra 0d d——大球球心到小球球心的距离

3 3 3

Eb

2.22 如题2.22图所示，在半径为a的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为b的圆柱形空腔。

两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等，均为d，且d b。当导体通以均匀分布的电流I时，试求空腔内的H。

22

解：假设导体中的电流是 ez方向的。由于导体的电流密度为J0 I/ πa 2b ，所以可以把空腔看

成是两个电流密度也为J0的 ez方向的导体柱。那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径为

a，没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。利用安培环路定律， 与z轴平行且位于z轴的圆柱

导体柱所产生的磁场为

J0 J0

ey exe a xy 22

H 22

JJaa00 e a exy eyx 2x2 y2 2

与z轴平行位于 x0,y0 的圆柱导体柱所产生的磁场为

a

a

J0

ey y ex x x0y0 2

H

J0a2

22 ex y y0 ey x x0 2 x x

y y 00

导体内

导体外

由此可得两个空腔内的磁场分别为

左右

左腔内 H H大 H小 H小

II

exy ey x d ey ex xy 2πa2 2b22πa2 2b2

Ib2

exy ey x d 2 222 2πa 2b x d y

x d b2 Iyb2

e ed xy22222πa2 2b2 x d yx d y

左右

右腔内 H H大 H小 H小

IIb2

exy ey x d exy eyx 2πa2 2b2 2 2πa2 2b2x d y

I

exy ey x d 22 2πa 2b

x d b2 Iyb2

e ed xy22222πa2 2b2 x d yx d y

2.30 已知无源的自由空间内E exE0cos t z ，其中E0， 和 为常数。试求磁场强度H和位移

电流Jd。

解：由麦克斯韦第二方程可得

ex B E t x

Ex

于是有

ey yEyezex

0 z

ExEz

ey00ez

ey E0sin t z z0

H

B

0

t

1

0

t

ey E0sin t z dt

考虑到t 时，场还不存在，即H 0，可以得到

H

而位移电流

B

0

0

1

ey E0sin t z dt ey

E0

cos t z 0

D E

0 ex 0E0sin t z t t

πx

sin t z ，其中H0,a, 和 为常数。试求E和Jd。2.31 已知无源的自由空间内H eyH0cos a

解：由于在无源的自由空间J 0，由麦克斯韦第一方程可得

Jd

ex

D

H t x

Hx

ex H0cos

ey yHyezex z x

0Hz

ey0Hy

ez

Hy Hy

ex ez z z x0

πH0πxπx

cos t z ezsinsin t z aaa

考虑到t 时，场还不存在，即E 0，于是有 E D 1

0 0

H dt e

t

x

H0πH0πxπx

cossin t z ezsincos t z 0aa 0a

而位移电流 Jd

πH0 Dπxπx

…… 此处隐藏：2614字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……