最小二乘法应用加举例

*第十节

第八章

最小二乘法问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y=f (x) . 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律

y

根据问题的实际背景

o

x

2. 确定近似函数的标准 实验数据有误差,不能要求 yi f ( xi )机动 目录 上页 下页 返回 结束

偏差 ri yi f ( xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小2 [ y f ( x )] min i i i 0 n

y

来确定近似函数 f (x) .

最小二乘法原理:设有一列实验数据

o

x, 它们大体

分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 .

机动

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特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 使 y a x b 满足: y n M (a, b) ( yk a xk b) 2 min

令

M a M b

k 0

o称为法方程组

x

xk b得

n

xk ak 0

n

k 0

解此线性方程组 即得 a, b机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀具的厚度, 得实验数据如下:

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. (P67 例1) 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们

y

大致在一条直线上, 故可设经验公式为

y ax b列表计算:机动 目录

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t

i

0 7

ti 0 7 28

ti2 0 49 140

yi 27.0 24.8 208.5

yi ti 0 137.6 717.0

140 a 28b 717 得法方程组 28 a 8b 208 .5 解得 a 0.3036 , b 27.125 , 故所求经验公式为

y f (t ) 0.3036 t 27.125为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下:

机动

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0

1

2

3

4

5

6

7

27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8

27.125 26.518 25.911 25.303 26.821 26.214 25.607 25.000yi f (ti ) -0.125

-0.018 0.189 -0.003 -0.021 0.086 0.093 -0.2007

偏差平方和为 M [ yi f (ti )]2 0.108165 y i 0 1 M 称为均方误差, 对本题均方误差 n1M 7

0.124

它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动 目录

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t

0 27.0 27.125

1 26.8

2 26.5 26.518

3 26.3

4 26.1 25.911

5 25.7

6 25.3 25.303

7 24.8

26.821

26.214

25.607

25.000

-0.125 -0.018 0.189 -0.003 yi f (ti ) -0.021 0.086 0.093 -0.200

偏差平方和为 M [ yi f (ti )]2 0.108165 i 0 y 1 M 称为均方误差, 对本题均方误差 n1M 7

7

0.124

它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动 目录

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t

例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据: 1 2 3 4 5 6 7 8

3 6 9 12 15 18 21 24 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 其中 表示从实验开始算起的时间, y 表示时刻 反应物的量. 试根据上述数据定出经验公式 y f ( ). (P70例2) m y k e 解: 由化学反应速度的理论知, 经验公式应取 其中k , m 为待定常数. 对其取对数得 ln y m ln k (书中取的是常用对数)

令 Y ln y , X , a m , b ln kY a X b(线性函数)机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此 a , b 应满足法方程组:

k ln yk ln ykk 1 k 1 8

8

经计算得 解得:

所求经验公式为

y 78.57 e其均方误差为1M 7

0.104

0.135机动 目录 上页 下页 返回 结束

通过计算确定某些经验公式类型的方法:观测数据: ( xi , yi ) (i 0 ,1, , n)

令 xi xi 1 xi , yi yi 1 yi (i 1, 2 , , n) yi (1) 若 定值 , 则考虑 y a x b xi ln yi b (2) 若 定值 , 则考虑 y a x 用最小二乘 ln xi 法确定a, b 转化为 ln y b ln x ln a ln yi (3) 若 定值 , 则考虑 y aeb x xi 转化为 ln y b x ln a机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业

(习题8 -10 )

P72 1 , 2

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