高等代数(第三版)2.6

一、余子式、代数余子式 二 、行列式按行(列)展开法则

a11 a12 a13 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31

a22 a23 a21 a23 a21 a23 a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a33可见，三级行列式可通过二级行列式来表示.第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

一、余子式、代数余子式定义 在 n 级行列式 det( aij ) 中将元素 a ij 所在的2 ( n 1) 第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置

次序构成一个 n 1 级的行列式，a11 ai 1, 1 ai 1 ,1 a n1 a1, j 1 a1 , j 1 a1n ai 1 , n a i 1 , n ann ai 1, j 1 ai 1, j 1 ai 1 , j 1 ai 1, j 1 a n , j 1 an , j 1

称之为元素 a ij 的余子式,记作 M ij .第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

令

Aij ( 1)i j M ij

称 Aij 之为元素 a ij 的代数余子式. 注：

① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式. ② 元素 a ij 的余子式和代数余子式与 a ij 的大小 无关，只与该元素的在行列式中的位置有关.

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二 、行列式按行(列)展开法则1.引理若n 级行列式 D = det( aij ) 的 中第 i 行所有 元素除 a ij 外都为 0,则D aij Aij .

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证： 先证 aij ann 的情形，即a11 D a n 1,1 0由行列式的定义，有D

a1,n 1

a1n

an 1,n 1 an 1,n 0 annjn )

j j j1 2 1 n 1

( 1) ( j1 ( 1) ( j1

a1 j1 a2 j2 a1 j1 a2 j2 a1 j1

an 1, jn 1 anjn an 1, jn 1 ann an 1, jn 1

n

j j n1

jn 1n )

ann

j j

( 1) ( j1

jn 1 )

n 1

第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

ann

a11 an 1,1

a1,n 1 an 1,n 1

ann M nn ann Ann . 结论成立。

一般情形：a11 ai 1,1 0 ai 1,1 a n1 a1, j 1 a1 j a1, j 1 a1n ai 1,n 0 ai 1,n ann

ai 1, j 1 ai 1, j ai 1, j 1 0 aij 0 ai 1, j 1 ai 1, j ai 1, j 1 a n , j 1 anj an , j 1

第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

a11 ( 1)n i ai 1,1 ai 1,1 a n1 0

a1, j 1

a1 j

a1, j 1

a1n ai 1,n ai 1,n ann 0 a1n

ai 1, j 1 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1, j 1 ai 1, j ai 1, j 1 a n , j 1 0 anj aij an , j 1 0 a1, j 1

a11 ( 1)n i ( 1)n j ai 1,1 ai 1,1 a n1 0

a1, j 1

a1 j

ai 1, j 1 ai 1, j 1 ai 1, j 1 ai 1, j 1 a n , j 1 0 a n , j 1 0i j

ai 1,n ai 1, j ai 1,n ai 1, j ann 0 anj aij

( 1)

2 n ( i j )

aij M ij ( 1)

aij M ij

aij ( 1)i j M ij aij Aij .

结论成立。

第二章

行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

2.定理 行列式按行(列)展开法则行列式 D 等于它的任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即

D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 i 1,2, ,n

ain Ain aik Aikk 1

n

或 D a1 j A1 j a2 j A2 j j 1,2, ,n

anj Anj akj Akjk 1

n

第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

证：a11 D ai 1 0 a n1a11 a12 ai 1 0 a1n

a12 0 0 ai 2 an 2a11 a12 a1n 0 ann

a1n 0 0 0 ain anna11 a12 0 0 a1n ain ann

0 0 ai 2 ann a n1 a n 2

a n1 a n 2

a n1 a n 2

ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2

ain Ain

i 1,2, , n

第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

例1.计算行列式

解：5 1 D 11 1 0 0 5 5

3 5 D 2 1 1 1 3 1 1 0 3 0

1 1 0 5

1 3 1 3

2 4 1 3

5 1 1 11 1 1 5 5 0

5 1 1 6 2 0 ( 1)1 3 6 2 40 5 5 5 5 0第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

例2.证明范德蒙行列式

1 a1 Dn a2 1

1 a2 a2 2

1 a3 a2 3

1 an a2 n

( ai a j ) 1 j i n

n 1 n 1 n 1 a1 a2 a3

n 1 an

第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

证：用数学归纳法. 1 1 0 1 n 2 时， a a a2 a1 . 结论成立. 1 220

假设对于 n 1 级范德蒙行列式结论成立.即1 a1 Dn 1 2 a1

1 a22 a2

1 a n 12 an 1

( ai a j ) 1 j i n 1

n 2 n 2 a1 a2

n 2 an 1

第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

下证对于 n 级范德蒙行列式 Dn 结论也成立. 把 Dn 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的

an 倍，得1 a1 an Dn a a1an2 1

1 a2 an a a 2a n2 2

1 a n 1 a n a2 n 1

1 0

an 1an 0

n 2 n 1 n 2 a1n 1 a1 an a2 a2 an

n 1 n 2 an a 1 n 1 a n 0

第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

a1 an ( 1)1 n2 a1 a1an

a2 an2 a2 a2a n

a n 1 a n2 an 1 a n 1a n

n 2 n 1 n 2 a1n 1 a1 an a2 a2 an

n 1 n 2 an a 1 n 1 a n

1 a1 ( 1)1 n (a1 an )(a2 an ) ( a n 1 a n )2 a1

1 a22 a2

1 a n 12 an 1

n 2 n 2 a1 a2

n 2 an 1

第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

Dn 1

(an a1 )(an a2 )

1 1 a1 a2 2 2 (an an 1 ) a1 a2 an 2 1

1 a n 1 2 an 1n 2 2

a

a

n 2 n 1

(an a1 )(an a2 ) (an an 1 ) ( ai a j ) 1 j i n

( ai a j ) 1 j i n 1

注： 范德蒙行列式 Dn 0 a1 , a2第二章 行列式 2-6 行列式按一行(列)展开

an 中至少两个相等.