高等数学课件第五章同济六版

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第三节 定积分的换元法和 分部积分法不定积分

第五章

换元积分法分部积分法

定积分

换元积分法分部积分法

一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法YANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束

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一、定积分的换元法定理1. 设函数 满足: (t ) C1[ , ] , ( ) a , ( ) b ; 1) 2) 在[ , ] 上 则

函数

(t ) (t )

证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 .

则

(t ) 是

(t ) (t ) 的原函数 , 因此有 F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]

(t ) (t )YANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束

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(t ) (t )说明: 1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .

3) 换元公式也可反过来使用 , 即

(t ) (t )或配元

f ( x) d x (令 x (t ) )a

b

(t ) (t )

(t ) d (t )配元不换限

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例1. 计算 解: 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且

当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t . 22 a 2 02 cos t d t ∴ 原式 =

y

y a2 x2

a2 2 (1 cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ( t sin 2t ) 2 2 2 0YANGZHOU UNIVERSITY机动

o

2

a x

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例2. 计算

t 2 1 , dx t d t , 且 解: 令 t 2 x 1, 则 x 2 当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .∴ 原式 =

t 2 1 3 2 2 t dt 1 t

1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1YANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束

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P246 例2

例3

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例3.(1) 若 (2) 若 证:a 0

偶倍奇零

则

a

a

f ( x ) dx 2 f ( x ) dx0

a

则

a

a

f ( x ) dx 0a

a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx f ( t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx0 0 a 0 a a

令 x t

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f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时机动 目录 上页 下页 返回 结束

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二、定积分的分部积分法定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b

a证: [u ( x) v( x)] u ( x)v( x) u ( x)v ( x)

两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v ( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a aYANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例4. 计算 解: 原式 = x arcsin x1 2

1 1 1 2 2 2(1 x ) d (1 x 2 ) 12 2 0

0

1 2

x 1 x

0

dx 2

12

(1

1 1 2 2 2 x )

3 1 12 2YANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束

0

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例5. 证明n 1 n 3

3 1 , n n 2 4 2 2 n 为偶数

n 为奇数 证: 令 t x , 则 2

0令

2

2 sin x dx sin n ( t ) d t 2 cos n txd tx d 2

n

0

2

则 u (n 1) sin

0 n 2

x cos x ,

v cos x

2 I n [ cos x sin n 1 x] 0 (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx 0YANGZHOU UNIVERSITY

0机动 目录 上页 下页 返回 结束

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I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx0

(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx0

(n 1) I n 2 由此得递推公式 I n nn 1 I n 2

于是

m 2m I 2 m 22 m 1 2 m 3 I 2m 4 1 I 0 I 2m 2 3 2 4 22m 2 I I 2m 1 22 m 1 I 2 m 1 4 2 I1 3 m 2 m 1 2 m 5 3

而

I0

0

2

dx

, 2

I1 2 sin x dx 10机动 目录 上页 下页 返回 结束

故所证结论成立 .YANGZHOU UNIVERSITY

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内容小结基本积分法 换元积分法 换元必换限 配元不换限 边积边代限

分部积分法

思考与练习d x 100 sin100 x 1. 0 sin ( x t ) d t ________ dx提示: 令 u x t , 则

0

x

sin

100

(x t) d t

sin

100

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2. 设 解法1

f ( x3 )

解法2 对已知等式两边求导,得

思考: 若改题为

提示: 两边求导, 得

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3. 设

求解:(分部积分)

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作业P253 1 (4) , (10) , (16) ;7 (4), (9), (10)

6;

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备用题1. 证明 证： 是以 为周期的函数.

令u t

是以 为周期的周期函数.YANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束