数学归纳法练习题

2.3 数学归纳法

第1课时 数学归纳法

双基达标 限时20分钟

1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取

( )．

A．2 B．3 C．5 D．6

解析 当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C. 答案 C

2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋ ＋(n＋3)＝＝1时，左边应取的项是

( )．

A．1 C．1＋2＋3

B．1＋2 D．1＋2＋3＋4

n＋3 n＋4

n∈N＋)，验证n2

解析 等式左边的数是从1加到n＋3.

当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4. 答案 D

11

3．设f(n)＝1＋231

n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于 3n－1

( )．

1A. 3n＋2C.

11 3n＋13n＋2

11B.3n＋

3n＋11D.3n＋

11

＋ 3n＋13n＋2

11

解析 ∵f(n)＝1＋23 ＋11

∵f(n＋1)＝1＋23 ＋

1

， 3n－1

1111

＋3n＋＋， 3n－13n＋13n＋2

1

∴f(n＋1)－f(n)＝3n＋答案 D

11＋. 3n＋13n＋2

4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋ ＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________． 答案 1×4＋2×7＋ ＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2

5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案 π

6．用数学归纳法证明：

111111

＋＋ ＋1×23×4 2n－1 ·2nn＋1n＋2n＋n证明 (1)当n＝1时，左边＝

111

＝2，右边＝2，等式成立． 1×2

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即

111111＋＋ ＋＝＋2k1×23×4 2k－1 ·2kk＋1k＋2则当n＝k＋1时，

1111

＋＋ ＋＋1×23×4 2k－1 ·2k 2k＋1 2k＋2 ＝＝＝＝

1111

＋2k k＋1k＋2 2k＋1 2k＋2 1111 11

＋2k 2k＋1－2k＋2＋k＋2k＋3 k＋111111

＋2k＋k＋2k＋32k＋12k＋2

1111

＋＋即当n＝k＋1时，

k＋1 ＋1 k＋1 ＋2 k＋1 ＋k k＋1 ＋ k＋1

等式成立．

根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．

综合提高 限时25分钟

7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现

知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有

( )．

A．命题对所有正整数都成立

B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立

D．以上说法都不正确

解析 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 答案 C

8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3) (n＋n)＝2n·1·3· ·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为

( )．

A．2k＋1 2k＋1C. k＋1

B．2(2k＋1) 2k＋3D. k＋1

解析 n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2) (2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3) (2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2) (2k)(2k＋1)，故选B. 答案 B

9．分析下述证明2＋4＋ ＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：

证明 假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋ ＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋ ＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________. 答案 缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立

10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3) (n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________．

解析 当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2) (k＋k)， 当n＝k＋1时，

左端为：(1＋1)(2＋2) (k＋k)(k＋1＋k＋1)，

由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)． 答案 2k＋2 11．用数学归纳法证明

n n＋1 2n＋1 *

12＋22＋ ＋n2＝(n∈N)．

6证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1， 1× 1＋1 × 2×1＋1

右边＝＝1，

6等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即 k k＋1 2k＋1

12＋22＋ ＋k2＝

6那么，

12＋22＋ ＋k2＋(k＋1)2 ＝

k k＋1 2k＋1 2

(k＋1)

6

k k＋1 2k＋1 ＋6 k＋1 2＝

6 k＋1 2k2＋7k＋6 ＝6＝＝

k＋1 k＋2 2k＋3

6

k＋1 [ k＋1 ＋1][2 k＋1 ＋1]

6

即当n＝k＋1时等式也成立．

根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．

1

12．(创新拓展)已知正数数列{an}(n∈N)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋a*

数学归纳法证明：ann－n－1. 证明 (1)当n＝1时． 1 1 a＋a1＝S1＝2 1a ， 1 ∴a21＝1(an>0)，

∴a1＝11－0＝1， ∴n＝1时，结论成立．

(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立， 即akk－k－1. 当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk

1111

a＋＝2 k＋1a－2ak＋a

k k＋1

111 1

kk－1＋a＋ ＝2 k＋1a－2

kk－1 k＋1 11

＝2 ak＋1＋a－k k＋1

∴a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，解得ak＋1＝k＋1－k(an>0)， ∴n＝k＋1时，结论成立．

由(1)(2)可知，对n∈N*都有annn－1.