2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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初中数学竞赛辅导资料——乘法公式

甲内容提要

1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2

立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广：

① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

－－－－－

(a+b)(a2n1－a2n2b+a2n3b2－ ＋ab2n2－b2n1)=a2n－b2n

－－－

(a+b)(a2n－a2n1b+a2n2b2－ －ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：

－－－－－

（a－b）(an1+an2b+an3b2+ ＋abn2+bn1)=an－bn 4. 公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)

由公式的推广③可知：当n为正整数时 an－bn能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

乙例题

例1. 己知x+y=a xy=b

求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5 解： ①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b

②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab

③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2 ④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4) =(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］ =a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］ ＝a5－5a3b+5ab2

例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)

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a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2 ∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数 ∴a2+3a+1是整数 证毕 例3. 求证：2222＋3111能被7整除

证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111 根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）

111111

∴4＋3能被 4＋3整除 ∴2222＋3111能被7整除

例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。

如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)，

352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)

丙练习15 1． 填空：

①a2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b)2+___ ③a3+b3=(a+b)3－3ab(___) ④a4+b4=(a2+b2)2－____ ,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____ 2． 填空：

①(x+y)(___________)=x4－y4 ②(x－y)(__________)=x4－y4

③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④（x－y）(__________)=x5－y5 3.计算：

①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律

⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74= 5..已知x+

1111

=3, 求①x2+2 ②x3+3 ③x4+4的值 xxxx

6.化简：①（a+b）2(a－b)2

②(a+b)(a2－ab+b2)

③(a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2)

④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)

7.己知a+b=1, 求证：a3+b3－3ab=1 8.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值 9.求证：233＋1能被9整除

10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方

11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们 的直径分别是a,b,c

①

②

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练习15

4. 十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的

百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积 8. n(n+1)+(n+1)=(n+1)2

9. ①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0 ②

(ab+ac+bc) 2

初中数学竞赛辅导资料——二元一次方程的整数解

甲内容提要

1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

1 11y1 y 10y1 y

2y (1) , =

5551 y

k(k是整数） 设，则y=1-5k (2) , 5

解：x=

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是 方法二，公式法： 设ax+by=c有整数解

x 11k 2

（k是整数）

y 1 5k

x x0 x x0 bk

则通解是（x0,y0可用观察法） y y0 y y0 ak

3， 求二元一次方程的正整数解：

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① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。

乙例题

例1求方程5x－9y=18整数解的能通解

18 9y15 10y 3 y3 y

3 2y 5553 y

k（k为整数）设，y=3－5k, 代入得x=9－9k 5

x 9 9k

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