同济大一高数期中复习题

高数复习题高数复习高数考试高数题目同济高数

一、常数项无穷级数

1. lim un = 0 是级数 ∑ un 收敛的 .n →∞n =1

∞

条件. 条件.

解：必要非充分. 必要非充分.

ln n 3 2. ∑ n = . n=0 2

∞

.

解：公比 q =

ln 3 1 < 1 的等比级数收敛且和 s = . 2 1 ln 3 2∞

1 3.对于无穷级数 ∑ 2 p ,下面中正确的是 [ ]. . . n =1 n (A) 仅当 p > 1 时收敛； 时收敛； (B) 仅当 p < 1 时收敛； 时收敛；(C) 仅当 p = 1 时收敛； 时收敛； (D) 仅当 p > 1 2 时收敛. 时收敛. ∞ 1 时级数收敛. 解： p 级数 ∑ 2 p 仅在 2 p > 1 ,即 p > 1 2 时级数收敛. n =1 n

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4.若 ∑ | un | 收敛，则下面命题中不正确的是 . 收敛，

∞

[

]. .

(A) ∑ un 必收敛； 必收敛；n =1

∞ n =1

(B) | un | 必单调减少； 必单调减少；

(C) lim un = 0 ;n →∞

(D) ∑ ( 1) un 必收敛. 必收敛.n n =1

∞

是不正确的. 解：(B)是不正确的. 是不正确的5.判定下列常数项级数的敛散性： .判定下列常数项级数的敛散性： n ∞ 3 ① ∑ ; n=1 4 解： q =∞

3 34 等比级数收敛 级数和 收敛. < 1 ,等比级数收敛.级数和 s = = 3. 4 1 3 4n

1 ② ∑ 1 + ; n n =1 n 1 n→∞ 级数发散 发散. 解： un = 1 + → e ≠ 0 ,级数发散. n

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③∑n =1

∞

(

n +1 n ;n →∞

)

级数发散 发散. 解： S n = n + 1 1 → ∞ ,级数发散. ∞ 1 1 ④ ∑ n + . 5n n =1 2 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 收敛， 发散， 发散. 解： ∑ n 收敛， ∑ 发散，故 ∑ n + 发散. 5n n =1 2 n =1 5 n n =1 26.判定下列级数的敛散性： .判定下列级数的敛散性：

1 ; n =1 2n 1 ∞ n →∞ 1 1 1 1 1 ,而 ∑ 发散，故原级数发散. 发散，故原级数发散 发散. 解： un = 2n 2 n n =1 n ∞ 5n ( n + 1)! ②∑ ; ( 2n )! n =1 n +1 n →∞ 5 ( n + 2) un +1 5 ( n + 2 ) ! ( 2n ) ! = n = → 0 < 1, 级数收敛 收敛. 解： 级数收敛. un ( 2n + 2 )! 5 ( n + 1)! ( 2n + 1)( 2n + 2 )

①∑

∞

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3n n! ③∑ n ; n =1 n n +1 n →∞ 3 un +1 3 ( n + 1) ! n n 3 = n = → > 1 ,级数发散. 级数发散 发散. 解： n +1 n un 3 n ! (1 + 1/ n ) e ( n + 1) ∞ 5n ④∑ . n n =1 n 2 un +1 5n +1 n 2n 5n n→∞ 5 = n = → > 1 ,级数发散. 级数发散 发散. 解： n +1 un 5 2 ( n + 1) 2 ( n + 1) 28.判断下列级数收敛性，若收敛，问是条件收敛还是绝对收敛？ .判断下列级数收敛性，若收敛，问是条件收敛还是绝对收敛？ ∞ n n 1 ① ∑ ( 1) ; 3n 1 n =1 n n →∞ 1 → ≠ 0 ,收敛必要条件不满足，原级数发散. 收敛必要条件不满足，原级数发散 发散. 解： u n = 3n 1 3 n ∞ n ② ∑ ( 1) n 1 ; 1+ n n =1

n n n →∞ 1 收敛必要条件不满足，原级数发散 发散. 解： u n = → ≠ 0 ,收敛必要条件不满足，原级数发散. e 1+ n

∞

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n ③ ∑ ( 1) ; n 1 3 n =1 un +1 1 n + 1 n→∞ 1 = → < 1 ,绝对值级数收敛，原级数绝对收敛. 绝对值级数收敛，原级数绝对收敛 绝对收敛. 解： un 3 n 3 ∞ n 1 1 ④ ∑ ( 1) ln 1 + ; n n =1 ∞ 1 1 n →∞ 1 发散， 级数非绝对收敛 收敛. 解： un = ln 1 + ,且 ∑ 发散，原级数非绝对收敛. n n n= n =1 n ∞ n →∞ ∞ 1 1 un = ln 1 + → 0 ,且 { an }1 = ln 1 + 单调减少， n n 1n 1

∞

原级数收敛，即条件收敛. 级数收敛， 条件收敛.

2 n +1 ⑤ ∑ ( 1) 2 ; n ( n + 1) n =1 ∞ 2n + 1 n →∞ 2 1 收敛，原级数绝对收敛 绝对收敛. 解： u n = 2 ,且 ∑ 2 收敛，原级数绝对收敛. 2 n ( n + 1) n n =1 n∞ n

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sin (π n ) ⑥ ∑ ( 1) . n n=2 ∞ sin (π n ) n→∞ π π 收敛，原级数绝对收敛 绝对收敛. 解： u n = ,且 ∑ 2 收敛，原级数绝对收敛. 2 n n n =1 n∞ n +1

二、幂级数1.若 ∑ an x 的收敛半径为 1,则 ∑ nan x n 的收敛半径为 . ,n ∞ ∞

, .

an n ∑ n + 1 x 的收敛半径为为 n =1∞

∞

n =1

的收敛区间为 ， ∑ an ( x 1) 的收敛区间为n n =1

n =1 ∞

逐项求导或逐项积分后的幂级数收敛半径不变， 前两答案都为 1. 解： 逐项求导或逐项积分后的幂级数收敛半径不变， .令 y = x 1 ,∵ ∑ an y n 的收敛半径 1,∴ 1 < y < 1 , 0 < x < 2 ,级数 ，n =1

∑ an ( x 1) 的收敛区间 ( 0, 2 ) .n n =1

∞

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2.若 ∑ an ( x 1) 在 x = 1 处收敛，则在 x = 2 处该级数 . 处收敛，n n =1

∞

[

]. .

(A)绝对收敛； 绝对收敛； 绝对收敛 (C)发散； 发散； 发散正确. 解：(A)正确. 正确

(B)条件收敛； 条件收敛； 条件收敛 (D)收敛性不能确定. 收敛性不能确定. 收敛性不能确定

3.求下列幂级数的收敛半径与收敛区间： .求下列幂级数的收敛半径与收敛区间： ∞ x n +1 n ① ∑ ( 1) ; ( n + 1)! n =0 →∞ an ( n + 2 )! = n + 2 n→ + ∞ R = +∞ ∞, +∞ 1 = 解： , ,( ). an +1 ( n + 1) ! 1 ∞ xn n ② ∑ ( 1) n ; 3 +n n =1 3n +1 + ( n + 1) n →∞ an = → 3 , R = 3 , ( 3,3) . 解： n an +1 3 +n

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x2n ③∑ ; n n =1 n 2

∞

解：令 y = x 2 成 ∑n =1

∞

an ( n + 1) 2 y = .∵ n an +1 n 2n n 2n

n +1 n →∞

→ 2 = Ry .

y < 2 x < 2 ,收敛半径 R = 2 ,收敛区间 2, 2 .④∑n =1 ∞

( x 1)n 52 n

(

)

n

.∞ n→∞ ( n + 1) 5n+1 n→ 5 = R = y . 2 n n 5 2

an y 解：令 y = x 1 成 ∑ 2 n .∵ an +1 n

=1 n 5

y < 5 x 1 < 5 ,收敛半径 R = 5 .收敛区间 ( 4, 6 ) .

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4.将 f ( x ) = .数∑n =1 ∞

( 1)3n +1

1 的幂级数，指出其收敛区间，并求级 展开成 ( x 1) 的幂级数，指出其收敛区间，并求级 4 x

n

的和. 的和.∞

解： f ( x ) = ∑n =0

( x 1)3n +1

n

,收敛区间 ( 2, 4 ) . ∑n =1

∞

( 1)3n +1

n

1 = . 12

5.使用间接展开方法将函数 f ( x ) = 2sin 2 x 展开成幂级数. . 展开成幂级数.

( 1) 4n x 2 n ∞, +∞ cos 解： f ( x ) = 2sin 2 x = 1 cos 2 x = 1 ∑ ,( ). n = 0 ( 2n ) !∞ n

6. . 求下列两个幂级数的收敛半径与收敛区 …… 此处隐藏：5637字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……