第4章 李雅普诺夫稳定性分析

线性系统理论——4

第四章李雅普诺夫稳定性分析

线性系统理论——4

引言稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条 件下系统方程解是否具有收敛性，而与输入作用无关。 线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，与系统的初始条件及外 界扰动的大小无关； 非线性系统的稳定性既与系统的结构和参数，又与系统的初始条件及外 界扰动的大小有关。 稳定性判别方法： 经典控制理论中： 线性定常系统的稳定性： 代数判据(如，赫尔维茨判据、劳斯判据等); 奈魁斯特判据；对数判据；根轨迹判据。 非线性系统稳定性： 描述函数法—要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能； 相平面法—仅适合于一阶、二阶非线性系统。 现代控制理论中： 一般系统(包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时 变系统)的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。

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李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。

李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般性理论，它采用状态向 量描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了用其它方 法所不能解决的问题。该理论比经典控制中的稳定性判据、以及以后可能接 触到的超稳定性理论的适应范围更广，因而得到广泛应用。

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4.1 李雅普诺夫意义下的稳定性设系统动态方程为

x f ( x, t )

(4 382)

式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t;f(x,t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为 xi

f

i

( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n

(4 383)

假定方程的解为x(t;x0,t0),式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ;x0,t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t,满足

xe f ( xe , t ) 0

(4 384)

的状态xe称为平衡状态。平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。若已 知状态方程，令 x 0 所求得的解x,便是平衡状态。 线性定常系统 x Ax ,其平衡状态满足Axe = 0,当A为非奇异矩阵时，系 统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若A为奇 异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个或 多个平衡状态。

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2 李雅普诺夫意义下的稳定性设系统初

始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ, t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t;x0,t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t;x0,t0)-xe|| ≤ ε,t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)

实数δ与ε有关，通常也与t0有关。如果δ与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。 要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡 运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε),则认为是稳定 的，这与经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。

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3 渐近稳定性若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有 4 388 lim x t ; x0 , t0 xe 0t

则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出 S(ε),且当t→∞时收敛于xe,显见经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定 性对应。若δ 与t0无关，且上式的极限过程与t0无关，则称平衡状态是一致渐近 稳定的。 4 大范围(全局)渐近稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称 此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时，δ→∞,S(δ) →∞。当t→∞时，由状 态空间中任一点出发的轨迹都收敛于xe 。 对于严格线性的系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐近稳定， 这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说， 其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐近稳定不一定是大范围渐近 稳定。

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5 不稳定性如果对于某个实数 ε > 0和任一个实数 δ >0,不管这两个实数有多么小， 在S(δ) 内总存在着一个状态 x0,使得由这一状态出发的轨迹超出 S(ε),则平 衡状态 xe 就称为是不稳定的。x2 x2 x2

S ( )

S ( ) S ( ) x0

S ( ) S ( ) x0

S ( ) x0

xe

xe

xe

x1

x1

x1

(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性

(b) 渐近稳定性

(c) 不稳定性

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4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。定理4-9 对于线性定常系统 x Ax, x(0) x0 , t 0 (4 388 )

有1)

系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是， A 的所有特征值

均具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值 为A 的最小多项式的单根。 系统的惟一平衡状态 xe = 0 是渐近稳定的充要条件是，A的所有特征 值均具有负实部。

2)

证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 xe 0 和 Axe 0 可知，对于所有 t≥0 均有(可通过等式两边求微分证明下式)xe e At xe (4 389) (4 390)

于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0,有x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0

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这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k <∞ 时，对任给的一个实数ε > 0,都对应存在和初 始时刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k,使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 x t; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)k

这从而由定义知，系统的每一个平衡状态均为李雅普诺夫意义下稳定。再引 入非奇异变换阵P,使得 Â= P-1AP 为矩阵 A 的约当规范型，则又有e At P 1 e At P

(4 393)

因而‖eAt‖有界等价于‖eÂt‖ 有界。 但是，由 Â为约当规范型可知 eÂt 每一元的形式为 其中λi(· 为 (· 的特征值，βi 为特征值的重数。 ) ) 可以看出，式(4-394)中，当 αi < 0 时对任何正整数 βi 此元在[0,∞)上为 有界，而 αi = 0 时只对 βi = 0 此元在[0,∞)上为有界。同时， eÂt 的每一个元 有界意味着‖eÂt‖有界。由此可见，当且仅当A的所有特征值均具有负或零 实部，且具有零实部的特征值为单根时， ‖eÂt‖为有界，也就是 …… 此处隐藏：4607字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……