量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集

一、填空题

1． 2．

设电子能量为4。

索末菲的量子化条件为（ pdq nh ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En 。

3．

德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍

射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ E ）和（ p k。

4．

r =（ 三维空间自由粒子的归一化波函数为 p

p r1 ）， e3/2

(2 )

i

5．

r d （ (p p)） p。 p r

p r 1* (r) (r)d ）， ep p (2 )3/2

i

(r) 动量算符的归一化本征态 p（

（ (p p)）。

6．

t=0时体系的状态为 x,0 0 x 2 2 x ，其中 n x 为一维线性谐振子的定态波函数，则 x,t （ 0(x)e

i

t2

2 2(x)e

5i t2

2

）。

7

．

按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w= ），几率流密度=

i

* * ）。 2

2 的设 (r)描写粒子的状态，(r)是（），在 (r)中F

dx * dx ）平均值为=（ *F。

（

8．

9．

波函数 和c 是描写（ 同一 ）状态， ei 中的ei 称为（ 相因子 ），

。 ei 不影响波函数 i 1）

定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为

零）的状态。

EE

(x,t) 1(x)exp( i1t) 2(x)exp( i2t)是定态的条件是

（ E1 E2），这时几率密度和（）都与时间无关。 （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。

3．t=0时体系的状态为 x,0 0 x 3 x ，其中 n x 为一维线性谐振

10． 11．

12． 13． 14．

15．

3(x)e子的定态波函数，则 x,t （ 0(x)e。

粒子处在0 x a的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

i t2

7it2

2 2 2 2

（ ）

。 x ）2

a a

16．

基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ N0e

17．

22

x/2

）。

3

一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ）、第一激发态的波函数

2

为（ N12 xe

18． 19． 20． 21． 22．

22

x/2

）。

（ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋

时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。 一维无限深势阱第n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原

2

子的第n个能级的简并度为（ n ）。

一维线性谐振子第n个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原

2

子的第n个能级的简并度为（ 2n ）。

氢原子的状态为R32(r)Y21( , )，角动量平方是2、角动量z分量。

的定义是：对于两任意函数 和 , 等式厄密算符F

dx (F )* dx ）成立。 （ *F

23． 24．

25． 26．

27． 28．

力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。

力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）。 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。

z=算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在 z表象中

10 （ 。 0 1 ）

]=0， 存在组成 ，G ，G 2，L 的如果[F则F（ 完全 ）系的共同本征态，LZ

共同本征态是（ Ylm( , )）。

存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则[F ]=（ 0 ） ，G ，G如果F， 2，L 的共同本征态是（ Y( , )）。 LlmZ对易子[

dx

） ,L ] （ i L,e] x，[L。 zyx

dx

） ,L ] （i L x] y] ，[x,p，[L。 [x,pzxy

29． 30． 31． 32．

d x

x] （） y] ,e] x。[y,p，[y,p。

dx

，x和px的测不准关系是[

2（ x p ）。

4

____

2

____

2x

33． 在一维情况下，若粒子处于状态 (x,t)中，则在动量表象中的波函数为

C(p,t) （ (x,t)e

i px

dx）。

34．

35．

36． 37． 38． 39． 40．

的本征态 (x)的迭加态 (x) 3 (x) 4 (x)一维线性谐振子处在H24n

55

表象中一维线性谐振子的波函数为 =（中，则在H

-4/5，0,…） ）。

斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在任何方向上投影只

能取两个值（ ）和（ ）。

22

z） x y y x=（2i ，S S=。

2,L ]=（ 0 ） x y y x=（），[L。 z

cos

cos2 ） 在sz表象中，粒子处在自旋态 中，=（。 sz sin 2

cos

在 z表象中，粒子处在自旋态 。 sin 中，x=

01 2 1

在sz表象中，sx ，则在状态中，=（ ）。 sx 22 10 2 1

41． 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换

不引起物理状态的改变 ）。

42． 泡里原理的内容是：（ 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 ）。 43． 描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而电子体系的自

旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（反对称）的。

44． 电子是（ 费密 ）子，服从（ 费密-狄拉克 ）统计，描写电子体系的波

函数只能是（ 反对称 ）波函数。

45． 描写玻色子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数，而玻色子体系的自旋

波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。

46． 描写费密子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而费密子体系的自

旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。

47． 光子是（ 玻色 ）子，服从（ 玻色-爱因斯坦 ）统计，描写光子体系的

波函数只能是（ 对称 ）波函数。

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二、计算、证明题

0,0 x a

1．粒子在一维势场U(x) 中运动，试从薛定谔方程出发求出

,x a,x 0

粒子的定态能级和归一化波函数.

解：当x 0,x a,U , (0) 0

22 d E 当0 x a,H E . 22 dx

d22 E2

k 0 令k 得 22

dx

(x) c1sinkx c2coskx (0) 0， c2 0, (r) c1sinkx (a) 0, sinax 0,ak n ,(n 1,2,3, )

n n2 2 2

(x) csinx,(n 1,2, ) En ,12

a2 a

a

2

nd 1 c1

2

a

2．一粒子在一为势场U x

1

2x2 bx中运动，试求粒子的能级和归一化定态2

波函数（准确解）。 解：

22222 d1 d1bb2222 H x bx (x ) 2222 dx222 dx2 2

d2d2

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