概率论与数理统计 习题(7)答案

复旦大学出版社

习题七

1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.

【解】E(X) np,E(X) A1 X,因此np=X

所以p的矩估计量 p

Xn

2.设总体X的密度函数

2

f（x,θ）=

2

( x),0 x ,

0,其他.

X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计. 23

【解】E(X)

2

2

x( x)dx 2 xx

2

23

3

,令E(X)=A1=X,因此

3

=X

^

所以θ的矩估计量为 3X.

3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计. （1） f（x，θ）= e x,x 0,

0,x 0.

x 1（2） f（x，θ）=

,

0 x 1, 0,

其他.

n

n

n

i

【解】（1） 似然函数L

f(xi, )

n

e

xi

ne

e

xi 1

i 1

i 1

n

g lnL nln xi

i 1

由

dgdlnLn

n

d

d

xi 0知

i 1

n

n

x

i

i 1

所以θ的极大似然估计量为

1X

.

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n

(2) 似然函数L xi 1,0 xi 1,i=1,2,…,n.

n

i 1

n

lnL nln ( 1)ln xi

i 1

n

由

dlnLd

n

ln xi 0知

i 1

n

n

n

n

i

ln xi

i 1

lnx

i 1

所以θ的极大似然估计量为

n

n

i

lnx

i 1

求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】

0.09 4 s 0.1018 9 n 9

0.094. EX

n

由E(

X) D(X) [E(X)],E(X) A2

2

22

i 1

xi

2

n

)]2 A,即有 2 [E(X知 2

于是 0.101 890. 0966

所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.

5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，

求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.

【解】(1) E(X) ,令E(X) X，则

2

2X且E( ) 2E(X) 2E(X) ,

所以θ的矩估计值为 2 2 0.6 1.2且 2X是一个无偏估计.

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8

(2) 似然函数L

i 1

1

f(xi, ) ,i=1,2,…,8.

1 i 8

8

显然L=L(θ)↓(θ>0)，那么 max{xi}时，L=L(θ)最大, 所以θ的极大似然估计值 =0.9.

因为E( )=E(max{xi})≠θ,所以 =max{xi}不是θ的无偏计.

1 i 8

1 i 8

=k (Xi 1 Xi)2,6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ，

i 1

2

n 1

2

2

2为σ的无偏估计. 问k为何值时

【解】令 Yi X X,ii=1,2,…,n-1, i1

) E(X) 则 E(Yi i1

n 1

2

2

E(X ) i

0,Di(Y ) 2

2

2

2

,

E[k( 于是 E

i 1

i

Y) ]k( n

1)1E Y 2 (n

1)k,

2) 2,即2 2(n 1)k 2时, 那么当E(

有 k

.

2(n 1)

1

7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本

1

23X1

13X2;

2

14X1

34X2;

3

12X1

12X2;

1, 2, 3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 试证

2 3

1

121 2

X2 E(X1) E(X2) , 3333 33412

E(X2) , E(X2) ,

1) E 【证明】（1）E(

2) E( 3) E(

1412

X1

E(X1) E(X1)

1, 2, 3均是μ的无偏估计量. 所以

4 2 1

1) D(X1) D(X2) X (2) D(

9 3 3

22

2

5 9

2

,

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5 1 3

D( 2) D(X1) D(X2) ,

8 4 4 1

D( 3)

2

2

22

2

D

X(

1

)DX(

2

)

2

2

,

8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：

14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n=6,σ=0.06,α=1-0.95=0.05,

x 14.95,ua u0.25 1.96,,

2

2

μ的置信度为0.95

的置信区间为

x u /2 (14.95 0.1 1.96) (14.754,15.146).

9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，

且置信区间的长度不大于L？

2

【解】由σ已知可知μ的置信度为1-

α的置信区间为 u /2

, 2

u /2,

那么由

2u /2≤L,得n≥

4 (u /2)

L

2

2

22

-2

10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm）：

64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】 76.6,s 18.14, 1 0.95 0.05,n 20,

t /2(n 1) t0

(19 )(19 )

2.093,32.8 520,.9

2

7

.025

/2(n 1)

2

2

0.025

(19)5

8.907

(1) μ的置信度为0.95

的置信区间

x (n 1) 76.6 2.093a/2 (68.11,85.089)

(2) 的置信度为0.95的置信区间

2

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2

(n 1)s2 19(n 1)s1922

, 18.14, 18.14 (190.33,702.01) 2 /2(n 1) 2

1 /2(n 1)

32.8528.907 11.设总体X~f(x)=

( 1)x ,0 x 1;其中 0,

其他.

1

X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. 【解】(1)

E(X)

xf(x)dx

1

( 1)x

1

dx

1 2

,

又

X E(X)

1 2

,

故

2X 11 X

所以θ的矩估计量 2X 1

1 X

.

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