圆锥曲线有关弦的问题

圆锥线有关弦曲问题的如果线l直圆与锥曲C相交线于个不同点两AB,、那么线A段称为B锥圆线C 的曲条弦一，线直称l圆锥为线曲的一C条割线 。一圆、锥线曲的点焦弦过 抛线 y 物2 2p x的焦的点一条线和直这物线相交，两个抛点的交坐标为纵

y1, y2 则y1, y 2 p .2这是 抛物线焦点的一个重弦性质要。此外，与焦弦点有关的性质有还：过 抛物焦线弦两点的端线切的交在抛物点线准线的上： 抛过线焦物弦点端的两切线互相直垂；以抛 线焦点弦为直径的圆与物抛物线准线切； 相抛物线过焦点弦两端切线交点的抛与线物焦的连线和焦点点弦互垂相。直 椭圆双曲线的与焦点也有弦些一性，请同学们自质归纳总己结。 1例、已抛知线 物 y2 p ( p x ) 的0点焦F,A为B焦为弦，A,B两点到点

抛物线准2的线影分别为A射`B,,求`证A:`F B F`

证明

:如图 A A` 准 l , 线BB` l

A`// BAB` A B18 0 A而F AA`

0yA `2 1 o `B 3F

B

1A08 A 1 2 2 180 0B 理同, 3 20

x1800 A8100 B 1 3 09 202 A ` F `BF

2、过椭圆 例x3 2 4 y 2 6x 9 0的焦左作一椭圆点焦点的A弦B求直线，A B倾斜的为多大角，以弦A时为直B的径圆椭圆的过右点焦。 x (1) y2 解2:椭圆化 为 1, 焦左为点F (01,),0右 点为F焦 2(,02). 4 3所设直线求y=k,将x=kyx代椭入圆整理，得 ，(k 2 43 ) 2x 6 x9 0 6(2 ) 364k(2 3 ) 0 设( x1A,y ),1 (B x 2, y )2y1 y 2 1 F2在 A为B径的直圆 上AF B22 F则, 1x 2 x2 2即 x x12 2 ( x 1 x 2) 4 1 y2y 0y而1 kx1, 2 y kx2 9 69 2 2 4 k2 2() 0 24k 3 k4 34k 3 3 737 3 7 线直A的B斜角倾a为rtgc或 arc t 解之g,得 k 7 7 7 导:评本题先写出若B为直径的圆A的程,再把方 F2 标坐入代方圆,求程过解程再将(由)、(1)2得 ,比 较繁.这里运杂平面用几何识,知选择直垂条件,简化了算.计

6 9 则x1 2x ,2 1)(x1 x2 2 (2)4 k 3 4k 3

23例已知、抛线 y 物 2px( p )0的 条切线两互垂相直,切点分两为别A (1x, y 1) ( B2x ,y 2 )

这切线两的交为M点,点证: 求 S AB M

1| y1 y2 2 8|p证明：M设( x` y`, )由抛物线切线方程M得A方的为yy程 p1(x 1x) (1 ,)BM方的为y程2y (p x x 2 ()) y1 x x ,1得1 ,即x (y 1 y 2 ) x 1y2 y1 2x. (2 )2 y x 2x2 2(2)

Ay `Mo A xFy1 y 2 1yy 21 y2y x1 , x , x(y1 y2 ) ( y1 y 2) x Bp 22 pp 2p22 p 而py1 2y p 2, x ,M即点在线准 . 2p上2 y y 1 y y2 p 1y 2y kB A12 , 1() ( ), 2 y 得

.M点标为 坐( , )x 1 x 2 22 2 2 y21 y2 y1 y 22 yp y 将x 1 , x2 代 , 得入k A B 而2 MkF 1 22 pp2y 12 py p 2 p 2 2 AkB kF M , 故 MF 1ABS MBA 1| MF | | B A|2

设AA`垂直线,准A为`足垂由抛，线性物，知 A质`M A MA ,F AA ` M AF M 900 ,| AM | AM||

所三角以A形`AM和三角形AFM全等 。y y2y y |MF || M A| |`y1 1 | | 2 1| 22而 AB || ( y1 y2 ) ( x 1 x 2)2 2

y2`AM o F B Ax2

y y ( y1 y2 ) (1 2 ) 2p 2p22

| 1y y2 |2 2 p 1 y1| y 2 | y1 | y 22 | SM B A 2 2p2 1 | y 1y |2 2p82

例24求证、轴双等曲x线 y 1 两的条相互垂直的点焦长度弦等相。

明：(证1)若一条点焦垂直弦x轴，于则另一条焦点弦为实轴，必难算出通径 与不实都为2。 轴 (2如图，若一)焦点条倾角为 弦0( 且 )2 y 设MN y : t g (x ) 2代x入 2 y2 , 1理整 , 得M1( t g2 ) 2x 2 tg22 x (2 t 2g 1 ),0 |N M| ( x 1 x2 ) ( 1y y )2 22

oT

F2S

x

N

(x 12x) [ g t (1 x 2 ) gt ( x 2 2 ) ] 222 (1 t 2 g ) x(1 x2) 2 esc [( 1x x 2 )4 1 xx2 ]

似可得| S类 T

| 22t g2 22 t 2g 2 1sce 2 sec [( ) 4 ] 22| 1 t 2 g | 1t g 1 tg 2 样同另条一点弦倾角为焦2 | c s 2o |22 2

| M2N || S T|

|c so2 ( ) |2

| c so |

2 |c o2s

|

例、5椭圆轴长 | A A2 1| 6 焦距, |F1 F 2 |4 2 过椭圆左焦点,F1 作条直一线椭圆 交M于N两、, F点 2F1 M 0 ( , 问) 取值时，何M|N等|于椭圆短的长。 轴解法：如图，一立直建坐角系，则a 标 3 c, 22 ,b 1 椭 圆方程为x 2y 1 9 设 直线N的方M为 y程 k ( x 22 )代入 椭圆方 12A2 2 2

y2MF1 oF2 2A程，理，整得 (1 9 ) kx 3 62k x 7 2k 9 0设M ( x1, y )1 N (,x2 , y2) 则

N,x

362k 2 7 2 k2 9 x1 x2 ,x1x2 .22 1 9k 19 k MN || ( x1 x 2) (2 1y y 2 )2 ( 1 k 2 ) x1 (x2) 2 (1 k 2 [( x1) x 2 )2 x41x ]2

2 1 ( k2 [( )362 k 72k2 9 ) 4 ] 1 k9 21 k9 2

26( 2 k1 ) 1 9k 2 5 (k62 1) 3 3 或 由.知已 , 2 k 即 t,g , 2 66 1 9 k33 2 x x 1 28 . k解法：同解二一法设MN中点为，,Dx D 1 2 2 2 1 9k 设M、、DN左到线准的射影分别为`、NM`D`。

、

| 则N | M MF| |1 |N 1F| e(| M M` | |N `|N )2 | DeD|`

(61 k 2) 221 9

ak 2 2 9218 2k 2 2e | xD | 2| |2 c 3 221

k9下同解以一法

。 y` D` N`M MA1 F1 o F

2

DA2解法：设三 | 1MF | x 则| F2 M | 6x | F1,2F| 4 21 x 3 2 2oc s | MN | x y N

x

在M FF21,中余由定理弦得( 6 x2 )2 x (4 22 )8 2os cx ,同理|设F1 N| y ,得 y 6 2 29 8 cos

1 3 22co s 6 9 c8o 2 s oc s

35 ,或 . 2 6 6导评：此198题3年高(理考科)题试。解法是一般一法解有，普遍性，但算计 较量大解；二利用法圆椭第二定，比解法义一简了计化算；解三利法椭用第圆 一定结合义角三识，知算计进量步一少，减一定有的启性。发

二、圆

锥曲一般线的弦题问2 Ax2 设BA为圆曲锥C: 线 Cy Dx E y F 0 弦的, M( x0 , y0 ) 为AB弦的点中, A2x0 D 弦的斜若率存k在则 ， k ,若 圆曲线C的锥一组等弦平斜的率k,为Cy20 E 这些则平等的弦点中轨方程为迹 2A+x2Cyk++Ek=0.D21 k 2 设.A|B=|,令 fl( x , y ) xA Cy Dx E y F , 则l 4f x0 (,y 0 )A C k2

例6已、椭圆的中知心原在O,点点焦坐在轴上，标线直y=x+与1该椭圆于交P ,且QP O O Q , |P |Q 解 :设( Px1, 1y) Q(, 2x y,2 )10 ,求椭圆的该程。 2

方以线段则QP为直径圆的的程方为 ( x 1 )(x xx2) ( y 1y) (y y 2 ) 0x 2 y2设椭圆 方为程2 2 1 .与yx=+联1立，求 得x 1, x ,2 y1 , y2, a b 2a2 b 22a 2 2 b2a 2b 2 2 20 代圆的入方，程 得 x y 2 2 x 2 2 y 2 a 2 ab ab b P OQO,

圆过原点 a则 2 b …… 此处隐藏：3371字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……