《4.5相似三角形的性质及其应用【1】》课件

A

2 √10

B √2 C

ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系 (相似) 为什么？

A’ √5

√2 B’1

ΔABC与ΔA’B’C’的相似 是多少？ √2 ΔABC与ΔA’B’C’的周长 是多少? √2 C’ 面积比是多少？ 2

你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比 有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？

周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方

已知:Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比 为k. Δ ABC的周长 s ABC求证:Δ A’B’C’的周长

= K,

A

s A’B’C’B’

=k2A’

C’

B

C

两个相似三角形的对应高之比等于相似比。

已知：如图， △ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’的 相似比是k,AD、A’D’ 是对应高。 B AD 求证： k

A

D

C A’

AD

'

'

证明：

AD A' B' 两个相似三角形的对应高之比等于相似比。

∵△ABC∽△A’B’C’ B’ ∴∠B= ∠B’ D’ O ∴∠ABD=∠A‘B’D‘=90 AD AB k ∴ △ABD∽△A’B’D’ ' '

C’

周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方两个相似三角形的对应高之比等于相似比。AA’

B∵Δ ∴ Δ ABC的周长

D

B’

C

’ C D’

ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k.Δ A’B’C’的周长

=k

s ABC s A’B’C’

=k2

又∵AD、A’D’是对应高。

AD AB ' ' k A D A' B'

已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比 1 3 1 3 1 9 ... ... ...

2 2 4

100 100 10000

周长比 面积比

注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或 周长比则要开方。

1.在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比, 三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍? 答:三角形的边长,周长放大为10倍. 三角形的面积放大为100倍.

三角形的角大小不变.

例1;如图是某市部分街道图，比例尺是1:10000,请你 估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积解：地图上的比例尺为1:10000,就是地图上的△ABC与实 际三角形地块的相似比为1:10000,量得地图上 AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。则地图上△ABC的周长为 3.4+3.8+2.5=9.7(cm) ∵ 9.7 1

三角形地块的实际周长 10000

A

∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm, B 即970m。量得BC这上的高为2.2cm 1 ∴地图上△ABC的面积为 ×3.8×2.2=4.18cm22∵

D

C

4.18 1 三角形地块的实际面积 10000

2

∴三角形地块的实际面积为4.18×108cm2,即41800m2 答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为41800平方米

练习2、在△ABC中，DE BC,E、D分别在AC、 AB上，EC=2AE,则S △ ADE:S四边形DBCE的 比为______3、如图， △ABC中，DE FG BC,AD= DF=FB,则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBC

G=_________

O

练习4.已知:梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm, 延长两腰BD,CD交于点 B O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm, 则OF=_______.A

E

D

F

C

5、Δ ABC中，AE是角平分线，D是AB上 的一点，CD交AE于G,∠ACD=∠B, 且AC=2AD.则Δ ACD∽ Δ______.它们 的相似比K =_______, AE ______AGA

D G

B

E

C

如图，在△ABC中，∠C=Rt∠,AC=4cm,BC=5cm,点D 在BC上，且CD=3cm,现在有两个动点P、Q分别从点A和点 B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动； 点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P做PE∥BC交 AD于点E,连接EQ。设动点运动的时间为x.(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度； (2)当点Q在BD(不包括点B和D)上移动时,设△EDQ的面积为y, 求y与t的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形?

AE P

B Q D

C

某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题， 马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米 的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一 个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由 原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的 部分面积有多大？它的周长是多少？A 30m D 18m C E

B

A 30m D18m C

E

B

解:如图，已知 DE//BC,AB=30m,BD=18m ΔABC的周长为80m,面积为 100m2, 求ΔADE的周长和面积

ΔABC的面积为100m2, 1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则A 30m D

ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？16E

36m2

48m2

18m

36B F

2.若设sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2. 你能加以验证吗？ √S2 S1 A E =( ) > S AC 2 > S2 = ( C E ) S AC

C 请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系

= √S1+ √S2√S1 AE = AC √S

证明：DE//BCEF//AB √S1 √S

> ΔADE∽Δ ABC > ΔEFC∽Δ ABC √S2 √S

>

> √S2 = C E AC √S

}

>

+

=1

> √S1 + √S2 =√S

AM F S2

探究 如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC,且DE、FG、MN交于点P。E

D

S1 P S3

若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3 SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有

B

G

N

C

类似结论？猜想并加以验证。