2016年4月北京市房山区高三一模数学(理科) 试卷

房山区2016年高考一模 高三数学（理科）

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,-1)，则z=

（A）1 （B）3

（C

（D）5

ìï0＃x2,

（2）设不等式组í表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落

0＃y2ïî

在圆(x-1)2+y2=1内的概率为

（A）

8

（B）

4

（C）

2

（D）

3

（3）执行如图所示的程序框图，若输入x=1，则输出y的值是

（A）7 （B）15 （C）23 （D）31

（4）在极坐标系中，过点(1,)且平行于极轴的直线方程是 （A） 1

（B） sin 1

（C） cos 1

（D） 2sin

p2

（5）函数f(x)的定义域为R，“f(x)是奇函数”是“存在x R,f(x) f( x) 0”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）32 （C）

（B）16 （D）

32 316 3

正（主）视图

侧（左）视图

2ìa?xk,ï2(x+1),

（7）已知函数f(x)=í若存在实数k使得该函数值域为[0,2]，

ïîlog2(x+1)+1,k＃x1.

则实数a的取值范围是 （A）(-?,2] （C）[-2,-（B）[-2,-1] （D）[-2,0]

1) 2

（8）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线

y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)，如f(3)=4表示开始交易后第3小时的 即时价格为4元；g(3)=2表示开始交易后三个小时内所有成交股票的平均价格为2 元.下面给出四个图象，实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

x2

y2 1的渐近线方程是___. （9）双曲线4

（10）已知向量a=(1,1),b=(-3,1)，若ka b与a垂直，则实数k ___.

（11）在△ABC中，若a 3，c 4，cosC

1

，则b ___. 4

（12）在某校召开的高考总结表彰会上有3位数学老师、2位英语老师和1位语文老师做典

型发言. 现在安排这6位老师的发言顺序，则3位数学老师互不相邻的排法共有___ 种.（请用数字作答）

（13）设Tn为等比数列{an}的前n项之积，且a1=-6,a4=-时，n的值为___.

3

，则公比q=___，当Tn最大 4

（14）对于函数f(x)和实数M，若存在m,nÎN+，使f(m)+f(m+1)+f(m+2)+

+f(m+n)=M成立，则称(m,n)为函数f(x)关于M的一个“生长点”. 若(1,2)

为函数f(x) cos(x )关于M的一个“生长点”，则M ___；若f(x)=2x+1，

23

M=105，则函数f(x)关于M的 “生长点”共有___个

三、解答题共6小题，共80分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x-（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值； （Ⅱ）若aÎ

(0,)，且f(a)=

（16）（本小题13分）

为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为率为

1

． 2

p2，求a的值. 2

1

，第二种检测不合格的概6

1

，两种检测是否合格相互独立． 10

（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利-80元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品的获利，求X的分布列及数学期望．

（17）（本小题14分）

在三棱锥P-ABC中，平面PAC^平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA^PC, AC^BC,BC=2AC=4,M为AB的中点.

（Ⅰ）求证：AC^PM；

（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM^平面

P

N

PN

的值，若不存在，说明理由. PAB？若存在，求出PB

A

C

M

B

（18）（本小题13分）

已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x，其中a<

1

． 2

（Ⅰ）当a=-2时，求函数f(x)的极大值；

（Ⅱ）若f(x)在区间(0,e)上仅有一个零点，求a的取值范围

（19）（本小题14分）

x2y2已知椭圆C:2 2 1(a b

0)且椭圆C上任意一点到两个焦点

ab的距离之和是4. 直线l:y kx m与椭圆C相切于点P，且点P在第二象限． (Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)求点P的坐标（用k表示）；

(Ⅲ)若过坐标原点O的直线l1与l垂直于点Q，求PQ的最大值.

（20）（本小题13分）

已知数集M a1,a2, ,an 0 a1 a2 an,n 2 具有性质P：对任意的

i,j 1 i j n ，ai aj与aj ai两数中至少有一个属于M.

（Ⅰ）分别判断数集 0,1,3 与 0,2,3,5 是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）证明：a1 0，且an

2

(a1 a2 an 1 an)； n

.k.s.

（Ⅲ）当n 5时，证明：a1,a2,a3,a4,a5成等差数列.