《高等数学》习题册参考答案

答案

《高等数学》习题册参考答案

说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错.

第一册参考答案

第一章 §1.1

v0 at, 0 t v1 v0,

v v

1.v v1, 10 t T, 图形为：

v

v1 2a(t T), T t 21a T.

2.B.

[f(x) f( x)] 1[f(x) f( x)]， 3.f(x) 1[f(x) f( x)]为偶函数，而G(x) [f(x) f( x)]为奇函数. 其中F(x) 22

x2, 0 x 2, 2

(1)f,g单调性相同，则f[g(x)]单调增； (x 2), 2 x 4,

4.f(x) 5.

2

(2)f,g单调性相反，则f[g(x)]单调减. (x 4), 4 x 6,

0, x 6.

6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.

§1.2

, k , k Z}；1.（1）D ( 1, 0) (0, 1)；（2）D {xx k （3）D (0, 1). 2

e, x 1, 1, x 0,

2.a 4, b 1. 3.f[g(x)] 0, x 0, g[f(x)] 1, x 1,

1, x 0, 1 e, x 1.1 x),D [0, 2]；4.（1）y arcsin( （2）y

2

log2a(tanx) , D

22

k 0

(k ,k ).

.

5.（1）f[f(x)]

； （2）1 rhf[f(] . 6.V , 2r h . x)xax(ah 1)

h

7.（1） (x) a； （2） (x) 2x h； （3） (x)

§1.9

1.a e 1.

2.（1）x 1和x 2都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；

（2）x 0, x 1和x 1是间断点，其中：1是可去间断点（极限为）（属第Ⅰ类）； 20是跳跃间断点（左极限 1，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）x 0为无穷间断点（属第Ⅱ类），x 1为跳跃间断点（属第Ⅰ类）

答案

（注意：lim

x 1

xe1 x

e

，而lim

x 1

xe1 x

e 0）；

(k Z)为无穷间断点（属第Ⅱ类）（4）x k ； , x 0,x

（5）f(x) lim ∴ x 0为无穷间断点（属第Ⅱ类）；

n nx2 1 0, x 0,

（6）∵ lim f(x) 0 , lim f(x) ， ∴ x 1 为第Ⅱ类间断点，

nx

x 1

x 1

（注意：这类间断点既不叫无穷间断点，也不叫跳跃间断点，不要乱叫）； ∵ lim f(x) 0 , lim f(x) e 1， ∴ x 0为跳跃间断点（属第Ⅰ类）.

x 0

x 0

3.（1）a 0, b 1； （2）b e, a 1. 4.（1）f(0) 1； （2）f(0) 0. 5.证：由f(0 x2) f(0) f(x2)，得f(0) 0，于是，再由

lim[f(x x) f(x)] lim[f(x) f( x) f(x)] limf( x) f(0) 0，

x 0

x 0

x 0

∴ f(x)在x点连续.

§1.10

1.f(x)在( , )内连续，则a 0；又limf(x) 0，则b 0，故选D.

x

2.( , 3) ( 3, 2) (2, )； limf(x) f(0) （0是连续点）， 2

x 0

x 3x 2

limf(x) lim

x2(x 3) (x 3)

x 3(x 3)(x 2)

lim

2x 3x 2

5（-3是可去间断点）， 5

limf(x) lim

x2(x 3) (x 3)x 2 （2是无穷间断点）.

ln(x ex)ex

2

3.（1）； （2）0； （3）e（提示：原极限 lima

x 0

ln(x ex)

ex 0x，而 lim

ln[1 (x ex 1)]分子等价x (ex 1)拆分ln(x ex)分子减1加1

lim2）lim lim； x 0x 0x 0xxx无穷小代换

（4）e

1

2

（提示：原极限 lim

cosx

limln sin2xx 0

x 0

(cosx 1)]

limln[12x 01 cosx

lncosx

2

esinx

，而

x 0

x 0

x 1）； lim1cos lim 2 cosx

注意：（3）和（4）都用到了等价无穷小代换：□ 0时，ln(1+□)～□. （5）1； （6）不存在（左极限 2，右极限2）.

4.（1）a 0，b e； （2）a任意，b 1.

§1.11

1.令f(x) x (asinx b)，则f(x)在[0, a b]上连续，且f(0) b 0，f(a b)

则a b就是一个正根；a b asin(a b) b a[1 sin(a b)] 0.若f(a b) 0，

若f(a b) 0，则由零点定理，f(x)在(0, a b)内有一正根.总之，f(x)在[0, a b]

内有一正根.

2.作辅助函数F(x) f(x) x，则F(x)在[a, b]上连续，且F(a) f(a) a 0，F(b)

f(b) b 0，由零点定理， (a, b)，使得F( ) 0，即f( ) .

3.由题设：f(x)在[x1, xn]上连续，设M、m分别为f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小

答案

[f(x1) f(x2) f(xn)] M，于是，由介值定理可知：值，则m c 1[f(x1) f(x2) f(xn)]. (x1, xn) (a, b)，使得f( ) c，即f( ) n

4.令F(x) f(x) f(x a)，则F(x)在[0, a]上连续.若f(0) f(0 a) f(a)，则取 x0 0，命题成立；设f(0) f(a)，则由F(0) f(0) f(a)，而F(a) f(a) f(2a) f(a) f(0) [f(0) f(a)]，所以，F(0)与F(a)异号，于是，由零点定理可知： (0, a)，使得F( ) 0，即f( ) f( a)，命题成立.

第一章 总复习题

1 x2, x 0,2x

1.f[ (x)] 2.2sin. 3.(e, ).

1, x 0.

4.证：∵limf(x) A，∴对于事先给定的无论多么小的正数 ，都存在正数 ，只要

x x0

0 x x0 ，就必有f(x) A 成立①（这就是函数极限的“ - 定义”）；

又∵limxn x0 (xn x0)，∴对①中的正数 （因这样的正数是任意的），必存在

n

自然数N，只要n N，就必有xn x0 成立（这就是数列极限的“ -N定义”）.但对任何n，xn x0，所以这时也就有0 xn x0 成立②.

把①②两步结合起来就是(从②推回到①)： 对于事先给定的无论多么小的正数 ，（由①， 0，从而由②）必存在自然数（①②同时成立）就必有 f(xn) A 成立. N，只要n N，

故由极限的定义可知：limf(xn) A.

n

附注：本题是函数极限与数列极限相结合的题目，抽象且有点难，但提供了一个重要的求极限的方法，即数列极限可作为函数极限的特殊情况来处理，比如下面：

ax 1exlna 1xlna□

lim lim lna（用到了□→0时，e-1～□）, ∵lim

x 0x 0x 0xxx

∴limn(a 1) lim

n

a

1

, 2011； （3）5，35. 5.（1） 3； （2）n

ax 1 lim lna. x 0x

6.提示：因f(x)在[a,b]上连续，而 minf(x) m

x [a,b]

2

f(c) f(d)

2

M maxf(x)，

x [a,b]

对f(x)在[a,b]上用介值定理.

7.（1）（提示：每个括号通分，分子因式分解，并与分母约分，再整理得）； 2n2（2）（提示：给极限式子乘(1 a)，打开括号得(1 a4n

)，并利用一个重要结果

n

； limqn 0 (q 1)）

（3）1（提示：分子、分母都利用等比数列前n项和公式：1减公比分之首项减去末 a

项乘公比，再利用（2）中的重要结果）；

（4）（提示：有理化，分子、分母再同除以n或利用重要结果：当a0 0, b0 0时， 2

答案

0, 0 k m, a0an a1n a2n ana0n

； lim0m lim b0, k m …… 此处隐藏：17170字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……