第三节 导数与函数的极值、最值

第三节导数与函数的极值、最值

高考概览：1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.

会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

[知识梳理]

1．函数的极值与导数

2.函数的最值与导数

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

[辨识巧记]

1．两个易误点

(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点．

(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

2．三个结论

(1)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．

(2)若函数在开区间(a ，b )内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．

(3)若函数在闭区间[a ，b ]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的极大值不一定比极小值大．( )

(2)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( )

(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )

[答案] (1)√ (2)× (3)√

2．(选修2－2P 32A 组T 5(4)题改编)函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是

( )

A.1e

B.2e C ．e D ．e 2

[解析] f ′(x )＝1－ln x ，由f ′(x )>0，得0<x <e ；由f ′(x )<0，得x >e.所以f (x )在x ＝e 处取得极大值，f (e)＝e.故选C.

[答案] C

3．(选修2－2P 37B 组T 2改编)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )

A ．1百万件

B ．2百万件

C ．3百万件

D ．4百万件

[解析] y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0； 当x >3时，y ′<0.

故当x ＝3时，该商品的年利润最大．故选C.

[答案] C

4．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )

A ．e

B ．1

C ．－1

D ．－e

[解析] 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)，

又y ′＝1x －1＝1－x x ，

令y ′＝0得x ＝1，

当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增；

当x ∈(1，e]时，y ′<0，函数单调递减；

当x ＝1时，函数取得极大值－1，从而y 最大值＝f (1)＝－1.故选C.

[答案] C

5．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1

在x ＝1处取得极值，则a 等于________． [解析] 由题意可得f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2

＝x 2＋2x －a (x ＋1)2

， 因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，

所以f ′(1)＝3－a 4＝0，即a ＝3.

经检验，a ＝3时，x ＝1是f (x )的极小值点．

[答案] 3

考点一 函数的极值

函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，

也有解答题，难度适中，为中高档题．

常见的命题角度有：

(1)知图判断函数极值；

(2)已知函数求极值；

(3)已知极值求参数值或范围．

角度1：知图判断函数极值

【例1－1】(2019·河南八校联考)已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A．a，c分别是极大值点和极小值点

B．b，c分别是极大值点和极小值点

C．f(x)在区间(a，c)上是增函数

D．f(x)在区间(b，c)上是减函数

[思路引导]y＝f′(x)的零点→

零点两侧的符号是否相反→确定极值点

[解析]对于选项A，在x＝a处导数左负右正，为极小值点，在x＝c处导数左正右正，不为极值点，故选项A错误；对于选项B，在x＝b处导数不为0，在x＝c处导数左正右正，不为极值点，故选项B错误；对于选项C，f(x)在区间(a，c)上的导数大于0，则f(x)在区间(a，c)上是增函数，故选项C正确；对于选项D，f(x)在区间(b，c)上的导数大于0，则f(x)在区间(b，c)上是增函数，故选项D错误．故选C.

[答案] C

角度2：已知函数求极值

【例1－2】 (1)(2019·广东深圳质检)已知函数f (x )＝12x 2

－(a ＋1)x ＋a ln x ＋1，a ∈R .若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的极大值．

(2)(2019·泉州质检)已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．

[思路引导] (1)由f ′(3)＝0求出a → 确定f ′(x )的符号→求出极大值

(2)求f ′(x )→讨论f ′(x )的符号→求f (x )的极值

[解] (1)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a

x (x >0)．∵x ＝3是f (x )的极值点，∴f ′(3)＝3－(a ＋1)＋a

3＝0，解得a ＝3.当a ＝3时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3x ＝(x －1)(x －3)

x

. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化见下表：

∴f (x )的极大值为f (1)＝－5

2.

(2)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a

e x .

①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值．

②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，

所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，

在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．

综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；

当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．

角度3：已知极值求参数值或范围

【例1－3】 (1)若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．

(2)(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．

[思路引导] (1)求f ′(x )→f ′(2)＝0得c 值→

检验c 值是否符合题意

(2)求f ′(x )→由题知f ′(x )＝0应有2个解

→ 令f ′(x )＝0分离参数a ＝φ(x )→研究新函数φ(x )的性质→结合性质得出a 的范围

[解析] (1)f ′(x )＝(x －c )2＋2(x －c )x ＝(x －c )(3x －c )，

因为函数f (x )在x ＝2处有极大值，

所以f ′(2)＝0，得c ＝6或c ＝2，

当c ＝6时，由f ′(x )>0，得x <2或x >6；由f ′(x )<0，得2<x <6，所以f (x )在x ＝2处取得极大值．

当c ＝2时，由f ′(x )>0，得x <23或x >2；由f ′(x )<0，得23<x <6，

所以f (x )在x ＝2处取得极小值，不适合题意，舍去．

综上所述，c ＝6.

(2)f ′(x )＝(ln x －ax )＋x ? ??

??1x －a ＝ln x ＋1－2ax ，令f ′(x )＝0，得2a

＝

ln x＋

1

x

.设φ(x)＝

ln x＋1

x，则φ′(x)＝－

ln x

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