利用导数研究函数的单调性

第四章

导数及应用(选修·文/理)

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导数及应用(选修·文/理)

1.函数单调的一个充分条件 如果f′(x)>0,则f(x)为 设函数y=f(x)在某个区间内可导， 增函数 ； 如果f′(x)<0,则f(x)为减函数 .

2.函数单调的必要条件 设 函 数 y = f(x) 在 某 个 区 间 内 可 导 ， 如 果 f(x) 在 该 区 间 内 单调递增(或递减) ,则在该区间内 f′(x)≥0(或f′(x)≤0) .

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3.求函数单调区间的一般步骤 (1)确定f(x)的 定义域 . (2)求导数 f′(x) (3)由 f′(x)>0时 . . 当 时，

f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围 ′( )>0( ′( )<0)

,f(x) 在相应区间内是增函数 ；当 f′(x)<0

f(x) 在相应区间内是减函数 .

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1.设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、 g(x)的导函数，且f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时，有 ( ) A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) [答案] C高考总复习 数学

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2.(2011·广州一模)函数f(x)=ex+e-x(e为自然对数的底数) 在(0,+∞)上( A.有极大值 C.是增函数 [答案] C ) B.有极小值 D.是减函数

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3.(2010·江西，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与 水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图 形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S′(t)的图象大致为( )

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第四章 [解析]

导数及应用(选修·文/理) 当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面

积S(t)单调递增，则S′(t)>0,导函数的图象要在x轴上方，排除 B;当露出部分到达图中的Q点到R点之间时，S(t)增长速度变缓， S′(t)图象要下降，排除C;当露出部分在Q点上下一瞬间时，S(t) 突然变大，此时在Q点处的S′(t)不存在，排除D,而A符合条件， 故选A. [答案] A

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已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x) 的导函数).下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )

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[解析] 当x<-1时，xf′(x)<0, ∴f′(x)>0,f(x)为增函数， 当-1<x<0时，xf′(x)>0, ∴f′(x)<0,f(x)为减函数， 当0<x<1时，xf′(x)<0, ∴f′(x)<0,f(x)为减函数， 当x>1时，xf′(x)>0,f′(x)>0,f(x)为增函数.

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[答案] C [点评与警示] 根据题目条件和所给图象，判断f′(x)所在区 间函数值的符号，确定f(x)所在区间的单调性，大致可以确定曲 线的形状.

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当x>0时，证明不等式：1+2x<e2x. [分析] 假设构造函数f(x)=e2x-1-2x.因f(0)=e0-1-0=

0,如果能够证明f(x)在(0,+∞)上是增函数，那么f(x)>0,则 不等式就可以得到证明.

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[证明] 令f(x)=e2x-1-2x, ∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1). ∵x>0,∴e2x>e0=1,∴2(e2x-1)>0,即f′(x)>0. ∴f(x)=e2x-1-2x在(0,+∞)上是增函数. (0) 1 0 0 ∵f(0)=e0-1-0=0, ∴当x>0时，f(x)>f(0)=0,即e2x-1-2x>0. ∴1+2x<e2x. [点评与警示] 通过构造函数，利用导数判断出所构造的 函数的单调性，再将x赋值，利用单调性证明不等式，这也是证 明不等式的一种有效方法.高考总复习 数学

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证明不等式：ex≥1+x. [证明] 构造函数f(x)=ex-1-x,利用导数证明函数f(x)=

ex-1-x是增函数，即ex≥ ≥1+x.

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(2009·北京)设函数f(x)=xekx(k≠0) (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. [解] 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、

解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力. (1)f′(x)=(1+kx)ekx,f′(0)=1,f(0)=0, 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.

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