第九届华杯赛总决赛二试试题及解答

华杯赛历年真题

第九届华杯赛总决赛二试试题及解答

1.一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…,最内一圈种了 4 棵李树.已知树苗的的 行距和列距都相等，桃树比李树多 40 棵.问：桃树和李树一共有多少棵？

2.如右图，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C,分别以 AC 和 BC 为直径在△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC.当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型(阴影部分)AEC 和 BFC 的面积和最大.

3、甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患 x 病或 y 病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人.问：经过这几天治

疗后，是否可能甲医院对 x 病的治愈率和对 y 病的治愈率均低于乙医院的？举例说明.(x 病治愈率=

)

4、完成某项工程，甲单独工作需要 18 小时，乙需要 24 小时，丙需要 30 小时.现甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙、…,每 人工作一小时换班，直到工程完成.问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时？

5、求同时满足下列三个条件的自然数 a,b:1)a>b; 2)

3)a+b 是平方数

6.如图，正方形跑道 ABCD.甲、乙、丙三人同时从 A 点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒 5 米、4 米、3 米.若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己 在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方.从此时刻算起，又经过 21 秒，甲乙丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置.请计算 出正方形的周长的所有可能值.

1.400 棵 2.当 C 点在通过圆心且与直径 AB 垂直的直线与半圆的交点处时，两弯月型的面积最大 3.能 4.当工程完成时，甲干了 7.2 小时；乙、丙各干了 8 小时 5. 6.正方形跑道的周长是 210 米或 420 米

1.解：下图画出苗圃的最里面 3 层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4+12+20+28+……,每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多 8 棵，40÷8=5,所以

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共有 10 圈，最外圈的桃树为 4+9×8=76 棵，果树总棵数为

=400(棵)

2.解：两弯月形面积=

+

×AC×BC=

×AC×BC

本题即 AC×BC 何时有最大值.因为 AC=BC 时，阴影面积最大.

,当

时，

有最大值，此时 AC×BC 有最大值，即

3.解：例如，甲、乙医院接收和治愈 x,y 病的人数如下表：

甲医院

x病接收人数 治愈人数 治愈率 20 1 5%

y病80 40 50%

合计 100 41

乙医院

x病接收人数 治愈人数 治愈率 80 20 25%

y病20 20 100%

合计 100 40

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4.解：三人各干一小时完成

,360÷47=7

,

即经过每人干 7 小时还剩工程的 1-

×7=

没有干完，

从题目所给的换班规则(每次 3 小时，各干 1 小时),

每三次一个周期，三人的工作顺序第 8 次换班应和第二次相同，

即按乙、丙、甲的顺序，

>

,

-

=

,

>

,

-

=

,

就是说，乙、丙又各干一小时，还剩

的工作量，

÷

=0.2(小时)

即当工程完成时，甲干了 7.2 小时；乙、丙各干了 8 小时.

5.解：由

,可得：ab=169a+169b,ab-169a=169b,

a=

,a+b=

=

,

因为 a+b 是平方数，所以 b-169 是平方数，设 b-169=

,b=

+169;

同理可得 ab-169b=169a,b=

,a+b=

=

,a-169 是平方数，

设 a-169=

,a=

+169;于是，a+b=

+2×169+

.

2×169=2×13×13,或 2×169=2×1×169,或 2×169=2×169×1,

因为 a>b,所以 m>n,a+b 是平方数，

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所以，m=169,n=1,a=

+169=

+169=169×170,b=

+169=

+169=170.

6.解：甲跑 5 圈孤时间，乙跑 4 圈，再跑 3 圈，此时三人处在同一位置，都在 A 点.倒退 21 秒，

甲的位置距 A 点 5×21=105(米),甲与丙相距(5-3)×21=42(米).

因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上，

所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即 105 米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于 42 米.

105÷1=105>42, 105÷2=52.5>42,105÷3=35<42.

所以正方形的边长是 105 米或 52.5 米，周长为 420 米或 210 米.