全国大学生数学建模竞赛2009B题评分要点

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B题 眼科病床的合理安排

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型

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评审要点

命题思路：本题来源于人们常见的实际问题，问题本身比较容易理解，学生很自然地会将其归类于排队论问题，但由于问题本身存在较多的细节需要处理，如直接应用排队论理论解决问题可能会比较困难，可以考虑应用仿真方法解决问题。本题的主要考点为：（1）分布拟合检验；（2）合理的评价指标体系；（3）仿真方法应用；（4）满足一定置信度的

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统计预测模型的建立；（5）排队论优化模型的建立。本题解题方法可能会比较多，结果也未必一致，评阅时主要应以解题过程中体现出的对问题的理解程度与建模能力为依据。

必要的假定与数据检验

根据数据和文献资料，对病人预约排队的分布以及手术后住院时间的分布作适当拟合和检验，做出必要的假定。因数据中无男女性别数据，可假定无性别限制。

第一问：在一般的排队系统中，系统内平均逗留时间是主要的优化指标，但我们当前面临的是一个超拥挤系统，服务员（病床）始终没有空闲时间，因此，从长期来看，这一指标是一个常值，由系统服务能力及病人到达数量所决定，无法优化。本问题中需要优化的主要指标是病床有效利用率和公平度，这两个指标可以有各种不同的定义，其合理性是评分依据。此问主要考核对问题的考虑是否全面、周到，对问题实质的理解是否到位。

第二问：

主要优化目标为：提高病床有效利用率以及提高公平度。

由于问题的复杂性，很难利用现成的排队论结论来处理，采用仿真方法是一种选择。 就提高病床有效利用率而言，病人术后住院时间是一个不可优化的量，所以只能在术前等待时间上作文章。经对问题的分析可知：对白内障病人的入院时间加以限制成为提高效率的必然选择。需要制定一种对白内障病人的“可入院日”加以一定限制的方案，并与FCFS(First Come, First Serve，先来先服务)方案进行比较。

本问主要考核能否协调处理好提高病床有效利用率及提高公平度之间的关系，给出一个相对合理的病床安排模型，以及仿真计算的能力，仿真步骤应清晰交代。

第三问：

此问希望学生给出一个满足一定置信度（例如：95%）的预约住院时间区间，并且区间长度越短越好。这里介绍一种方法——自适应区间方法：根据当前系统内（含住院及等待）人数，利用该类病人每日出院人数的统计平均值，计算得到当前病人预计住院时间，然后再通过统计数据得到置信度为95%的置信区间，并通过仿真方法检验其效果，该方法对当前排队人数有一定的自适应功能。

本问可以有其他各种解法，只要思路合理，效果好，步骤清晰即可。

若仅按照住院平均时间给出一个预计住院时间（不是区间），应视为此问未完成。

第四问：

与问题二的分析相同，仍采用“入院限制方案”，但简单沿用第二问方法进行仿真的结果将不理想，主要原因是对视网膜与青光眼病人而言，会造成病床使用效率降低，需改进手术时间安排。如果采取“二四方案”，即周二、周四为白内障病人手术时间，周一、三、五为其他病人手术时间，病床使用效率会有所提高。

此问评分比重应小于前两问。

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第五问：

服务强度平衡模型

基本思想：当各类病人构成的排队系统的服务强度相同时，总的系统服务效率达到最佳。

五类病人排队系统的参数分别记为：

平均到达率 ，平均服务率 ，病床数

系统服务强度： ， 总床位数： .

当各系统服务强度相等时可得，

其中， 可以由统计数据得到。按上述比例得到的各类病人床位比例即为最佳比例。实际操作时，急症病人床位数可以根据需要作变动。

如果利用排队理论求解此问，要注意此时由于服务时间不服从负指数分布，故不是M/M/m系统，而是M/G/m系统（G代表一般分布），故不能直接应用M/M/m模型的结论，可以通过经验近似公式来建立两个系统之间的联系，然后应用M/M/m模型的结论。

亦可通过模拟计算得到相应结论。

此问评分比重大致可与第四问相同。