数字信号处理习题集(附问题详解)

第一章数字信号处理概述

简答题：

1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？

答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。

在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：

2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理

理论，对信号进行等效的数字处理。（）

答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字

长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础

一、连续时间信号取样与取样定理

计算题：

1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。

解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中

)(1)(1)(T

j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为

8π

=ΩT c

因此 Hz T f c c 6251612==Ω=π

由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T π，因此对T 8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。 （b ）采用同样的方法求得kHz 201=，整个系统的截止频率为 Hz T

f c 1250161==

二、离散时间信号与系统频域分析

计算题：

1．设序列)(n x 的傅氏变换为

)(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。 （1）)2(n x （2）)(*n x （共轭）

解：（1）)2(n x

由序列傅氏变换公式

DTFT ∑∞-∞=-==n n j j e n x e

X n x ωω)(()]([) 可以得到 DTFT 2)()2()]2([n j n n jn e n x e n x n x '-∞-∞='-∑∑'==

ωω为偶数 )()(21)(2

1)(21)(21)(21)]()1()([2

122)2(2)2

(22

ωωπωωπωωωj j j j n j n n jn n j n n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞

-∞

=∞-∞=--∞-∞=∑∑∑

（2）)(*n x （共轭）

解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωωj n n jn jn e X e n x e n x n x -∞-∞=∞

-∞=-===

∑∑ 2．计算下列各信号的傅里叶变换。

（a ）][2n u n

- （b ）]2[)41(+n u n （c ）]24[n -δ （d ）n n )21(

解：（a ）∑∑-∞=--∞-∞==-=

02][2)(n n j n n j n n e e n u X ωωω ωωj n n j e e 2111)2

1(0-=

=∑∞= （b ）∑∑∞-=--∞-∞==+=2

)41(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（ ωω

ωj j m m j m e e e -∞

=---==∑41116)41(20)2(2 （c ）ωωωδω2]24[][)(j n n j n j n e e n e n x X -∞-∞=--∞-∞==-==

∑∑ （d ）]12

1112111[21)(?--+-==--∞-∞=∑ω

ωωωj j n j n n e e e X ）（ 利用频率微分特性，可得

2

2)211(121)211(121)()(ωω

ωωω

ωωj j j j e e e e d X d j X ---+--=-=

3．序列)(n x 的傅里叶变换为

)(jw e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(*n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx

解： （1）)(*])([)(*)(*

jw n n jw n jwn e X e n x e n x =-=-∑∑∞-∞=--∞-∞=-

（2）∑∑∞-∞=-*-*∞-∞

=-+=+=n jw jw jwn n jwn e X e X e n x n x e

n x )]()([21)]()([21)](Re[ （3）dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j e

n nx jw n jwn n jwn n jwn )()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞-∞

=-∞-∞=- 4．序列)(n x 的傅里叶变换为

)(jw e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3) )(2n x

解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn e X e n x e n x e n x -**∞

-∞=--∞-∞=*---∞-∞=-*

===∑∑∑ （2）

[]

)()(21)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jw n n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**∞-∞=--∞-∞=∞-∞=-*--∞

-∞=*-=???????

???? ??-=-=--∑∑∑∑ （3）

)()(21)()(21)()(21)()()(2jw j w j j n n n w j j n jwn e X e X d e X e X e n x d e X e n x *==??????=?∑?∑∑--∞-∞=-∞

-∞=--∞-∞=-θππ

θθππθθπθπθπ

5．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用

)(jw e X 表示下面各序列的傅立叶变换。

（1）)2()(n x n g =

（2）()?

??=为奇数为偶数n n n x n g 02)( 解：（1）∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-===为偶数k k w k j n jnw n jnw jw

e k x e n x e n g e G 2)()2()()(

[]??

????-+=??

????+=+=+=-+=-∞

-∞

=--∞-∞

=-∞-∞=-∞-∞=-∑∑∑∑)()(2121)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2122)2(2)2

(22

22

w j w j w j w j k w jk w j k w jk j k w jk k w k

j k e X e X e X e X e k x e X e e k x e k x e k x k x πππ （2）)()()2()()(222w j r w jr r rw j n jnw jw

e X e r x e r g e n g e G ====∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-

6．设序列)(n x 傅立叶变换为

)(jw e X ，求下列序列的傅立叶变换。 （1）)(0n n x - 0n 为任意实整数

（2）()??

?=为奇数为偶数n n n x n g 0

2)( （3）)2(n x

解：（1）0)(jwn jw e e X -? （2） )2(n x n 为偶数 =)(n g ?)(2w j e X 0 n 为奇数

（3）)()2(2jw e

X n x ?

7．计算下列各信号的傅立叶变换。

（1）{})2()3()21(--+n u n u n

（2）)2sin()718cos(n n +π