电磁学中3D有限差分方法的研究

　　[摘要]有限差分方法是最早被应用在计算电磁学中的数值方法。它利用Yee氏交错网格形式实现了对Maxwell方程的離散，使得离散后的电磁场很好地保持了耦合关系。有限差分方法的优点是：方法容易理解，表达形式比较简单，并且发展非常成熟。基于以上优点有限差分方法成为在电法勘探中应用最为广泛的的数值方法。

　　[关键词]有限差分；Maxwell；

　　中图分类号：S549文献标识码：A文章编号：1009-914X（2018）16-0213-01

　　0引言

　　电脑仿真建模在电磁学中已经成为了一个十分有优势的方法，它能够十分快速有效地帮助分析电磁场分布，找到每一点的电磁响应。但是在现有计算机内存和运算速度条件下，地层中频域电磁响应的计算是一个难点。为探索在模型中电磁响应的有效算法，同时为进一步研究模型测量响应的校正方法奠定基础，从Maxwell电磁响应方程出发，应用交错网格有限差分法推导三维频域电磁响应的差分计算格式，采用LU分解对所形成的稀疏矩阵进行直接求解，从而得到各种模型下的电磁测量响应，并应用这些方法进行不同条件（下电磁响应的计算。快速正演模拟是研究电磁响应特征和资料处理的必要计算工具。

　　1程序总体框架

　　这个程序总体上包括五个部分，分别是定义所需变量、从Maxwell频域方程组出发，组建FDM的基本方程、在计算区域的截断边界处给出边界条件、馈电方式、根据YEE氏元胞来剖分模型，最后根据LU分解解方程（图1）。

　　Fortran程序在程序开头需要对这段程序中所用到的变量以及矩阵进行定义，同时需要对矩阵的大小进行准确的定义。由于在计算区域的外层边界采用的是截断边界条件，因此电磁场的数值结果在外边界附近会存在较大误差，若将计算区域的范围取得太小势必会影响数值结果的正确性。通常情况下，感应测井仪器的源距范围是0.2m-2.0m之间，为了保证数值解在源距范围内的精确度，就需要规定计算区域的大小。在电磁学中，用趋肤深度表征电磁场衰减程度。

　　2LU分解解方程

　　LU分解是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积，其中L和U分别是单位下三角矩阵和上三角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU（所有顺序主子式不为0，矩阵不一定不可以进行LU分解）。其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。

　　3主要程序代码

　　dok=1，ndoj=1，ndoi=1，n从YEE氏网格的每一个开始对方程组的系数开始赋值。

　　x=1y=1q=1kk=0

　　dowhile（q.ne.0）kk=kk+1x=y后面开始用LU分解解方程组，输出文件在本根目录下。

　　4结果分析

　　本文针对空间模型中Maxwell方程的三维数值算法展开深入系统研究，利用基本理论建立了基于耦合势的有限差分算法，并编写出相应的计算代码。利用计算代码我们系统地考察了磁场在模型中的响应特征。通过对有限体积法的理论研究，软件研制以及最后的数值考察，我们可以得到许多非常有意义的数值计算实验结果表明，利用Yee氏交错网格和有限体积平均技术对Maxwell方程离散是成功的，尤其是针对磁流源的离散形式，若源距保持0.1m以上，数值结果具有非常高的精确度（图2）。

　　参考文献 

　　[1] 王昌学，杨韦华，楚昭坦，等.多分量感应测井响应得交错网格有限差分法模拟[J].石油大学学报，2005.29（3）：35-40.[2]彭国伦。Fortran95程序设计[M].北京：中国电力出版社，2002. 

　　[2] 姚东华，汪宏年，杨守文等.用传播矩阵法研究层状正交各向异性地层中多分量感应测井响应.地球物理学报，2010，53（12）：3026～3037 

    作者：卢圣鹏