浅谈微积分的认识在物理教学中的应用

　　摘要：微积分纳入数学高考，强化了数学思维，丰富了物理问题解决的途径.本文阐释了对微积分的认识，并结合生活实例和高考真题，例析了在物理学中的应用.这有益于高三复习效率的提升，有益于用好数学工具解决物理问题能力的培养.

　　关键词：微积分；认识；应用

　　作者简介：唐克明（1974-），男，湖北武汉，大学本科，高级职称，研究方向：中学物理教学研究.2017年高考数学《考试大纲》[1]中明确指出：“导数及其应用（微积分的应用）作为高考必考的二十一个章节之一；考纲中将其列为第十七章，系人教版教材选修2-2的第一章.”2017年的《考试说明》[2]强调“考查导数的概念、几何意义、运算及应用，重点考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值，研究方程和不等式.”查阅2016年高考数学理科三套全国卷，微积分的考查约占10%，凸显了微积分在数学高考中的应用.这是新课改的一大亮点，强化了数学知识能力的培养，为解决物理问题增添了新的工具.使很多原本只能定性而无法量化的物理问题，有了数学知识作为理性支撑.如何用好这一数学工具，使学生主动将之与物理问题进行关联，提升学生解题的综合能力，引导学生深入生活从而激发理论紧密联系实际的学习兴趣，是广大教育工作者响应新课改要求所需要考虑的重要问题.

　　1微积分起源发展的简述

　　恩格斯（1820-1895）[3]说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了！”由此可见，微积分成为一门学科大约是在17世纪.

　　然而，微积分的起源最早可追溯到公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念.但是，公元前最为有影响力的是“公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想.”[4]

　　国内最有影响力的是三國时期（公元263年）魏人刘徽[5]提出的“割圆术”思想，它在分割的过程中运用的是基础的几何与代数，优点在于直观且形象的表达，并且提出了一种极限思想：可以通过趋近的手段得到一个任意精确度的结果.

　　到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律——航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的.[4]

　　微积分的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.正如人教版教材[6]所述“终于，在17世纪牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.”

　　2微积分本质的简述

　　什么是微积分呢？它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分.无限就是极限，极限的思想就是微积分的基础.[7]

　　其实纵观微积分的发展可知，微积分是关于运动和变化的数学，本质上说微积分是为了满足力学发展的需要而发明的，它使人们能够从物体现在的位置和作用在物体上力来计算该物体将来的位置，求平面上不规则区域的面积，度量曲线的长度，以及求任意空间物体的体积和质量[8].后来，牛顿一莱布尼兹公式又解决了求变速运动、变力做功等问题，进一步完善了经典力学结构.从几何意义的角度看，微分就是求导，探讨曲线的切线的斜率；积分就是探讨曲边形面积.

　　3微积分应用的优点

　　（1）微积分能够形象、生动地描绘出整个物理解题过程[9]，有助于学生对题目的记忆和理解，能够使学生更快掌握物理题目中包含的本质，有效提高物理规律的严谨性、科学性[10].如应用中的例1.

　　（2）大部分物理规律都比较抽象，虽然能够应用精准的语言来描述，但仍无法进一步具体化.通过运用微积分思想来构建物理模型，则能巧妙表现出物理规律的本质，使其变得具体化，便于学生接受和理解[10].

　　（3）在物理解题过程中合理运用微积分，会显著加快物理解题的速度，同时能够快速找到一些新的解题途径，不但发散了物理解题思维，而且有助于学生对物理知识的巩固和理解[10].

　　作者：唐克明