数学史与数学文化论文(5)

【1】 数学史中的第一次数学危机

公元前五世纪的毕达哥拉斯学派相信“宇宙问的一切现象都能归结为整数和整数比”，希帕索斯发现的“正方形一边与对角线不可通约”即 悖论，严重冲击了当时希腊人的普遍信条，在惊异不安之后，还是被迫努力寻求对“自然数及其

比不能包括一切几何量”这一事实的理解。毕氏学派提出单子论概念去解决这一悖论。而单子论又受到芝诺悖论的否定．进一步促使人们从直觉、经验转向追求逻辑和理性，引导出柏拉图、亚里士多德、欧几里得的公理几何体系和逻辑学的出现和发展。而无理数的理论直到十九世纪才完成。

【2】徽积分悖论——数学史中的第二次数学危机

微积分这门学科的莫基人，人们公认是牛顿和莱布尼兹，但在微积分理论初创时期，不论是牛顿还是莱布尼兹，都无法越过从有限到无穷小量的鸿沟．他们的证明都要依靠一个模糊的原理，即一个无穷小量既可以是一个极其微小的量，同时又可以是零，这就直接违反了最基本的逻辑规则．“什么是无穷小”引出的微积分悖论造成了第二次数学危机．宣称“存在就是被感知”的主观唯心主义者贝克莱呼之为“逝去量的鬼魂”，旨在挽救宗教、宣扬唯心主义，所有的数学家、自然科学家、哲学家都在各抒己见。在近两个世纪的争论、探讨中达朗贝尔、波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄里克列、外尔斯特拉斯等人都做了大量的工作，建立了“ε一δ”的极限、连续定义，将导数、积分建立在严格的极限基础之上，最终以外尔斯特拉斯、戴德金、康托尔建立实数理论及由此的极限理论，消除了微积分理论中的悖论，克服了第二次数学危机。极限理论是微积分理论的基础，它的建立体现了人们对无穷小量认识的深化过程，在微积分的历史上，这个过程虽然是曲折的，但是人们的思想终于突破了形而上学的框框，掌握了无穷小量的辨证本质，这是唯物辩证法的一个胜利。徽积分悖论的消除还有重大的科学意义，它使得在微积分理论的基础上建设起来的高楼大厦，再也无需有基础下陷之忧虑了．进人二十世纪之后，它对社会生产和科学技术的许多领域都产生了更加巨大的推动作用．

【3】罗素悖论—— 数学史中的第三次数学危机

1900年正当庞加莱在国际数学家大会上宣称“数学已经被算术化了，现在的数学已经绝对严格”之时，罗素悖论导致了第三次数学危机，因为“集合的集合”究竟属于哪类集合的疑难，作为集合论基础的皮亚诺公理出现了漏洞，使现代数学大厦出现了一条裂缝。为解决这场危机，逻辑主义、直观主义和形式主义三学派开展了长达半个世纪的争论，至今虽以统一“数学基础”而使罗素悖论的震波渐趋平息，但彻底消除基础的裂痕已无可能．不过，人们还是获得了重大进步，如类型论、公理集合论等，对数学、逻辑、语言，乃至科学、哲学理论等都有了更加冷静、本质的认识，这是作为“智慧的人” 的一步重大的提高．

【4】微积分中蕴涵的丰富哲学思想

微积分中蕴涵着丰富的哲学思想，如“量变到质变”、“对立统一规律”、“特殊存在于一般之中”等。1．积分概念中蕴涵的哲学思想定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的产生是解决实际问题的需要，解决的基本方法是：①有限分割，②以直代曲或以匀代变的近似计算，③有限积累的求和，④极限转化 比如定积分的概念是由求曲边梯形的面积引出的，和式ni=lΣf（ξi）△xi表示n个矩形面积之和；当λ→0时，limλ→0，ni=lΣf(ξi)△xi 则是曲边梯形的面积。马克思曾对微积分作过一番历史考察．他把这一时期称为“神秘的微积分”时期．并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通

过不正确的数学途径得出了正确的(而且在几何应用上是惊人的)结果。

【5】非欧几何的哲学思想

认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱说过：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的．束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理耍么是必然真理(先验综合的逻辑结论)；要么是断言的真理(感官观察的事实)．他指出：原理可能是简单的任意约定．但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件，事实上正是由于这一点。对于探索未知或目前无法感知的事物．我们可以在哲学的领域里依靠我们对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱时斯坦就说过：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判尤疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立．特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消限．

【5】潜无穷与实无穷中的辩证法

任何事物的内部都包含着互相对立又互相统一的两个方面，徐利治教授在谈到“潜在无限”和“实在无限”时明确提出“两种无限只不过是对同一对象的两个侧面的反映．”实际上既不存在没有潜在无限的实无限，也不存在没有实无限的潜无限，实无限都必须是某一潜无限基础上飞跃而完成的无限过程，潜无限都是某一个实无限的初始片断．可见，无穷观的发展过程中也蕴含着丰富的辩证法内涵。

显然，三次危机的产生和消除过程包含了丰富的哲学问题。每一次危机的消除都促进了学的发展，而哲学的发展也是数学得以突破的主要因素之一。学习这段历史的过程，也是我们历经人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性的过程．历史就是智慧，它横跨千年，把从原始的信仰到辩证地理性的分析之间那漫长曲折的历程都展现在我们面前．品味每个智慧的节点，从经验论到唯理论，再从形而上学到辩证法，不断的矛盾，不断的反思，促使我们逐步摒弃不正确的思想，树立健康的哲学观念，而随之提高的哲学修养必然导致我们对数学更深层次的思考．这样也必然会再次遇到矛盾，数学的发展又将在矛盾的解除中实现，哲学理论亦将再次走向深入。

一部数学史纵贯五千年，横亘东西方，其中蕴涵的哲学意义已是十分充盈，而现代数学还在迅猛发展，有许多问题亟待解决，这就需要我们在数学史教学中加强哲学观念的培养，对科学中最一般的、最深刻的价值、真、善、美抱以热烈的感情，去上下求索。因为：不论运用怎样的思维原则和思想方法，最终还是属于哲学。 …… 此处隐藏：1095字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……