电磁学论文(电磁学在生活中应用)(2)

来源：网络收集时间：2026-08-23

导读：连续函数偏导数，则 ??P?Q?R? ??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy 1－1 ??dxdydz????????x?y?z?V?S [1] 其中S的方向为外发向。1－1式称为高斯公式。 1.2静电场的高斯定理一半径为r的球面S包围一位于球心的点电荷q，在这个球面上

连续函数偏导数，则

??P?Q?R?

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy 1－1 ??dxdydz????????x?y?z?V?S

[1]

其中S的方向为外发向。1－1式称为高斯公式。 1.2静电场的高斯定理

一半径为r的球面S包围一位于球心的点电荷q，在这个球面上，场强E的方向处处垂直于球面，且E的大小相等,都是E?

q4??0r

。通过这个球面

S的电通量为

?E?dS???

q4??or

?dS?2

q4??or2

dS?

q4??or

?4?r?2

其中

???

dS是球面积分，等于4?r。从此例中可以看出，通过球面S的电通量只与其中的电量q

有关，与高斯面的半径r无关。若将球面S变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为q

0。

若闭合曲面S内是负电荷?q，则E的方向处处与面元dS取相反，可计算穿过S面的电通量为?q/?0。若电荷?q在闭合曲面S之外，它的电场线就会穿入又穿出S面，通过S面的电通量为零。

如果闭合面S内有若干个电荷q1,q2,q3……qn，由场强叠加原理可知，通过S面的电通量为

[2]

?e?E?dS????Ei?dS??Ei?dS?

si?1

i?1s

i?1

此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的?0分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面S称为高斯面，对于连续分

的电荷，电荷体密度为?，则上式可以表述为?e?E?dS?

??dV

1.3磁场的高斯定理

由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示：

B?dS?0

与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和

S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即

磁

场

是无源场

[2]

。

2 高斯定理的证明 2.1高斯定理的数学证明2.1.1静电场的高斯定理

静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：

?r球面的电通量为(a)点电荷在球面中心，点电荷q的电场强度为E?

4??or3

q??1

E?dS??r?dS???4??or34??or2ss

dS?

14??or

?4??r?2

2－1

(b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面S的通量为

q??q

E?dS??r?dS???4??or34??oss

(xdydz?ydxdz?zdxdy)3rs

2－2

根据高斯公式

111

xdydz?ydxdz?zdxdy333

4??orrrs

??P?Q?R?

???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? 2－3 ??dxdydz???????S?x?y?z?V?

并考虑到

xyz在S内有连续一阶偏导数，故2－2式可2－2式代入2－3式得

P?3,Q?3,R?3

rrr

q??

E?dS????3r?dS4??orss

(xdydz?ydxdz?zdxdy)3

4??ors111

xdydz?ydxdz?zdxdy333

4??orrrs

???y??3?r?

????z??3?r?

??????

dxdydz?0???

??x???3

q??r?

??x4??o???V??

(c)点电荷在任意闭曲面内

在任意闭曲面S内以点电荷q为球心作一辅助球面S1，其法向朝内，根据2－1式可知点电荷q在闭曲面S?S1的电通量为零，即：

E?dS?E?dS?0

E?dS??E?dS??E?dS?

2－4

其中式2－4中S1和S2大小相等，法向相反。 (d)点电荷系在闭曲面内外

设闭曲面内的点电荷为q,q2,q3……qn；闭曲面外的点电荷为qn?1……；根据上述讨论可得

E?dS????E

si?1

?dS??Ei?dS?

i?1s

[3]

i?1

这就是静电场中的高斯定理。

2.1.2磁场的高斯定理

磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： ?(a)电流元Idl在球面中心

由磁通量的定义和毕奥—萨法尔定律dB?得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为

?oIdl?ro为了方便，把?简写为?，则可

?dBB4?r2

?oIdl?ro?oI

B?dS???dS???4?r24?ss

?ro?dS?

?dl2rs

因为r//dS，所以

B?dS?0

(b)电流元Idl在任意闭曲面外电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为

?oIdl?ro?

B?dS?????dS24?rss

因为r?xi?yj?zk，并设dl?dlk，则dl?r??ydli?xdlj

???oIdlIdl?r?yxo代入原式得 B?dS???dS?(dydz?dxdz) 222??4?4?srrrss

根据高斯公式 …… 此处隐藏：654字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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